Berechnung Tiefpass 3. Ordnung

[Tobi (Gast)]

Hallo zusammen,

ich habe das angehängte Tiefpassfilter 3. Ordnung berechnet und dabei 
ein Problem festgestellt.

Bei meiner Berechnung ist folgende Filterübertragungsfunktion 
rausgekommen:

Ua/Ui = -R3/(R1+R2)*1/Nenner

Nenner =
j*w^3*(C1  C2  C3  R1  R2  R3  R4) / (R1 + R2)
+w^2*(C2  C3  R2  R3  R4 + C2  C3  R1  R3  R4 - C1  C3  R1 * 
R3  R4 - C1  C3  R1  R2  R4 - C1  C3  R1  R2 * R3) / (R1 + R2)
+j*w*(C3  R3  R4 + C1  R1  R2 + C3  R1  R4 + C3  R2  R4 + C3 * 
R1 * R3 + C3  R2  R3) / (R1 + R2)
+1

Mit dem Nenner dieser Übertragungsfunktion wollte ich einen 
Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion für 
Tiefpassfilter 3. Ordnung machen.

Allgemeine Übertragungsfunktion 3. Ordnung:

(1/(a1*P))*(1/1+a2*P+b2*P))

P=j*w/wg

Nenner der allgemeinen ÜF 3. Ordnung aufgelöst:

j*w^3*(-(a1*b2)/wg^3)
+w^2*(-(a1*a2+b2)/wg^2)
+j*w*((a1+a2)/wg)
+1

Es fällt auf, dass der jw^3 Koeffizient der allgemeinen 
Übertragungsfunktion negativ ist. Der jw^3 Koeffizient (C1  C2  C3 * 
R1  R2  R3 * R4) / (R1 + R2) kann aber niemals negativ werden.
Was mach ich falsch? Ich habs zweimal nachgerechnet und komme 
immerwieder auf das gleiche Ergebnis und auf das gleiche Vorzeichen.

MfG Tobi

[Helmut S. (helmuts)]

Hast du auch beachtet, dass j^3 = -j ist?

[Kai Klaas (Gast)]

Hallo Tobi,

warum denn so kompliziert? Simuliere doch das Ganze mit TINA (das 
scheinst du ja schon zu verwenden), und fertig!

Wähle beispielsweise R1 = R2 = R4, R3 = 2 x R1, C1 = C2, C1 = 5 x C3.

Kai Klaas

[Tobi (Gast)]

Hallo,

ja ich habe berücksichtigt, dass j^3 = -j ist, sowohl bei der 
Übertragungsfunktion speziell für den Filter als auch bei der 
allgemeinen Übertragungsfunktion.

Ich könnte das Filter schon mit einem Simulationsprogramm "hinbasteln". 
Allerdings brauche ich das Filter mit speziellen Charakteristika in 
verschiedenen Anwendungen. Also komme ich nicht drum rum, dass ich die 
Koeffizienten exakt bestimme.

Es sei denn es gibt ein Simulationsprogramm dem ich eine beliebige 
Schaltung vorgebe, einige Widerstandswerte und die Filtercharakteristik 
vorgebe und dann wird der Rest automatisch berechnet.
(Hier ist anzumerken, dass ich bereits FilterPro von TI verwende, da 
kann man allerdings keine beliebigen Filterschaltungen berechnen 
lassen.)

[Helmut S. (helmuts)]

@Tobi,
was verstehst du unter "beliebige Filterschaltungen" berechnen?
Vorgabe der Koeffizienten des Polynoms im Nenner?

[Kai Klaas (Gast)]

Hallo Tobi,

wenn ich die Differentialgleichung aufstelle, erhalte ich eine andere 
Übertragungsfunktion:

Uaus(s)/Uein(s) = 1 /(a x s^3 + b x s^2 + c x s + d)

mit

a = r1 x r2 x r4 x c1 x c2 x c3

b = r1 x r2 x c1 x c3 + r1 x r2 x r4 x c1 x c3 / r3 + r1 x r4 x c1 x c3 + r1 x r4 x c2 x c3 + r2 x r4 x c2 x c3

c = -r1 x r2 x c1 / r3 + r1 x c3 + r1 x r4 x c3 / r3 + r2 x c3 + r2 x r4 x c3 / r3 + r4 x c3

d = -r1 / r3 - r2 / r3

Kai Klaas

[Kai Klaas (Gast)]

Hallo Tobi,

mir ist natürlich ein kleiner Vorzeichenfehler unterlaufen. Sorry. 
Richtig muß es heißen:

Uaus(s)/Uein(s) = 1 /(a x s^3 + b x s^2 + c x s + d)

mit

a = -r1 x r2 x r4 x c1 x c2 x c3

b = -r1 x r2 x c1 x c3 - r1 x r2 x r4 x c1 x c3 / r3 - r1 x r4 x c1 x c3 - r1 x r4 x c2 x c3 - r2 x r4 x c2 x c3

c = -r1 x r2 x c1 / r3 - r1 x c3 - r1 x r4 x c3 / r3 - r2 x c3 - r2 x r4 x c3 / r3 - r4 x c3

d = -r1 / r3 - r2 / r3

So müßte es jetzt stimmen. Ich habe das Ganze, mit harmonischem Ansatz, 
mit TINA verglichen und keine Abweichung festgestellt.

Kai Klaas

[yalu (Gast)]

Tobi schrieb:
> Ich habs zweimal nachgerechnet und komme immerwieder auf das gleiche
> Ergebnis und auf das gleiche Vorzeichen.

Rechne noch ein drittes Mal nach ;-)

Ich komme jedenfalls auf folgendes Ergebnis (was aber nicht heißt, dass
es stimmt):

Der Zähler (also die Verstärkung) ist, wie du auch schon herausgefunden
hast

-R₃/(R₁+R₂)

Das ergibt sich schon ohne großes Nachrechnen direkt aus dem Schaltplan.

Der Nenner ist

- j·ω³·(C₁C₂C₃R₁R₂R₃R₄)                                                 / (R₁+R₂)
-   ω²·(C₂C₃R₂R₃R₄ + C₂C₃R₁R₃R₄ + C₁C₃R₁R₃R₄ + C₁C₃R₁R₂R₄ + C₁C₃R₁R₂R₃) / (R₁+R₂)
+ j·ω ·(C₃R₃R₄ + C₃R₂R₄ + C₃R₁R₄ + C₃R₂R₃ + C₃R₁R₃ + C₁R₁R₂)            / (R₁+R₂)
+      1

Die einzelnen Produkte im Nenner sind die gleichen wie bei dir, nur die
Vorzeichen sind teilweise anders. Negative Vorzeichen kommen bei mir nur
durch die elimierten j²-Terme ins Spiel. Wenn man in den ersten beiden
Zeilen das j³ bzw. j² ausschreibt, sind alle Vorzeichen positiv.

Für s=j·ω und nach Division von Zähler und Nenner durch -R₃/(R₁+R₂)
(damit der Zähler 1 wird) kommt das Ergebnis von Kai heraus.

Ich wollte gerade schreiben: "... nur mit dem Unterschied, dass a und b
ebenso wie c und d negatives Vorzeichen haben.", da kam schon die Kor-
rektur von Kai.

Viel Spaß beim Koeffizientenvergleich ;-)

[Helmut S. (helmuts)]

Kai Klaas schrieb:
> Hallo Tobi,
>
> mir ist natürlich ein kleiner Vorzeichenfehler unterlaufen. Sorry.
> Richtig muß es heißen:
>
>
>

Uaus(s)/Uein(s) = 1 /(a x s^3 + b x s^2 + c x s + d)
> 
> mit
> 
> a = -r1 x r2 x r4 x c1 x c2 x c3
> 
> b = -r1 x r2 x c1 x c3 - r1 x r2 x r4 x c1 x c3 / r3 - r1 x r4 x c1 x c3
> - r1 x r4 x c2 x c3 - r2 x r4 x c2 x c3
> 
> c = -r1 x r2 x c1 / r3 - r1 x c3 - r1 x r4 x c3 / r3 - r2 x c3 - r2 x r4
> x c3 / r3 - r4 x c3
> 
> d = -r1 / r3 - r2 / r3

>
> So müßte es jetzt stimmen. Ich habe das Ganze, mit harmonischem Ansatz,
> mit TINA verglichen und keine Abweichung festgestellt.
>
> Kai Klaas

Hallo Kai,

danke für die Formeln. Jetzt stimmt die Simulation mit Laplace und der 
Schaltung mit Bauelementen überein(LTspice).
Ich habe nach einiger Zeit meinen Versuch die Formel zu erstellen 
abgebrochen, da die Faktoren immer länger wurden.
Wie hast du die Formel berechnet? Mit einem symbolischen Solver?

[Kai Klaas (Gast)]

Hallo Helmut,

>Wie hast du die Formel berechnet?

Ich habe mich vom Ausgang zum Eingang vorgearbeitet (siehe Anhang). Ist 
schon anstrengend und fehlerträchtig, aber wie es der Zufall will, 
benötige ich die Herleitung gerade selbst.

Kai Klaas

[Abdul K. (ehydra)]

Offensichtlich wolltest du Mediziner werden. Trotzdem Setzen und Eins 
einkassieren.

Gute Nacht -
Abdul

[Tobi (Gast)]

Hallo,

hab meinen eigenen Vorzeichenfehler auch gefunden.
Ich hätte es wirklich noch ein drittes mal komplett rechnen sollen ;)
Ich bedanke mich hiermit sehr herzlich für die schnelle und kompetente 
Hilfe. (Besonderer Dank geht an Kai.)