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Forum: HF, Funk und Felder Herleitung des Rotation-Operators


Autor: ich (Gast)
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Hallo!


Wenn ich die Rotation eines Vektorfelds F berechnen will, bilde ich ja 
das Kreuzprodukt aus F und nabla, also:

rot(F) = F x nabla

Das Ergebniss ist wieder ein Vektorfeld, welches jedem Punkt einen 
Vektor zuordnet, dessen Länge der doppelten Winkelgeschwindigkeit dieser 
Rotationsbewegung entspricht.

Aber warum ist das eigentlich so? Wo ist die Herleitung zu dem ganzen?

Ich würde das ja normalerweise ins Offtopic posten, aber das geht leider 
nicht mehr, desshalb poste ich hier rein.

Autor: Daniel (Gast)
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Man kann das z.B. über einen kleinen Umweg, nämlich den Satz von Green 
oder über den Satz von Stokes zeigen. Green lässt sich mit Umformerei 
von Linienintegralen herleiten. Darin kommt Qx-Py vor. Dies ist die 
Z-Komponente der Rotation. Analog gehts auch mit Stokes.

Ich denke nicht, dass einfach einer auf die Idee kam zu sagen "Wir 
bilden mal das Kreuzprodukt aus Nabla und einem Vektorfeld und nennen es 
Rotation". Das wird sich im Zuge von Green/Stokes etc. so ergeben haben, 
dass man festgestellt hat, dass diese Operation in der Herleitung 
besagter Sätze vorkommt.

Daniel

Autor: ich (Gast)
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Ja ich dachte auch nicht, das das einer einfach so aus Spass an der 
Freude gebildet hat. Ich arbeite mich gerade Hobbymäßig in das Thema 
Vektoranalysis ein und habe einfach nichts gefunden, im Gegensatz zur 
Herleitung von Gradient und Divergenz. Mit Linienintegralen muss ich 
mich erst noch befassen und Satz von Green / Stokes kommen auch erst 
später an die Reihe. In dem Fall werde ich auf das Problem zurückkommen, 
wenn ich mich mit diesen Themen ausgibig beschäftigt habe.

Autor: Nils (Gast)
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> Ich denke nicht, dass einfach einer auf die Idee kam zu sagen "Wir
> bilden mal das Kreuzprodukt aus Nabla und einem Vektorfeld und nennen es
> Rotation".
Aber fast. Die Rotation als Differentialoperation in der Vektoranalysis 
gibt es schon lange.
Die Schreibweise der Rotation als Nabla x F folgt durch Einführung eines 
Differentialoperators (Nabla) und ermöglicht die Kurzschreibweise. Der 
Nabla-Operator ist so gebaut, dass sich div, rot, grad und 
Laplace-Operator bequem darstellen lassen.
Die Umformungen erfolgen dann mit dem Nabla-Kalkül, das bei vielen nicht 
sehr beliebt ist, weil die Regeln des Kalküls oft als uneinsichtig oder 
willkürlich empfunden werden. Insofern sind die Nabla-Formulierungen 
einfach eine formale Kurzschreibweise, um nicht ständig die 
Vektorkomponenten hinschreiben zu müssen.

Was die Interpretation der Rotation angeht, schließe ich mich Daniel an. 
Um den Bogen zum Forum: HF, Funk und Felder zu kriegen:
Die konkrete Bedeutung dieser Differentialoperatoren sieht man ehesten 
in der Interpretation der Maxwell-Gleichungen in der differentiellen und 
integralen Formulierung (oder in der Strömungsmechanik, wo das Zeugs 
ursprünglich herkommt).

Gruß,
Nils

Autor: ah (Gast)
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>Das Ergebniss ist wieder ein Vektorfeld, welches jedem Punkt einen
Vektor zuordnet, dessen Länge der doppelten Winkelgeschwindigkeit dieser
Rotationsbewegung entspricht.

Ein Rotationsfeld hat nicht direkt eine zeitabhaengikeit, dh es steckt 
keine Bewegung dahinter, auch keine Winkelgeschwindigkeit.

Autor: Martin (Gast)
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Die Rotation gibt in einem Vektorfeld die punktweise Verteilung von 
Wirbeln an. Gibt es in dem Gebiet das betrachtet wird keine Wirbel, ist 
die Rotation Null. Das heißt, das Vektorfeld ist ein Gradientenfeld und 
besitzt eine skalare Potentialfunktion. Soweit die Feldtheorie ( kann 
natürlich ausführlicher dargestellt werden )Die Vektoranalysis zeigt 
nun, daß das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem anderen Vektor, 
in determinanten Schreibweise,
identisch ist mit der Schreibweise der Rotation eines Vektorfeldes z.B. 
B-Feld in der determinanten Schreibweise.

Autor: Jörg Wunsch (dl8dtl) (Moderator) Benutzerseite
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ich schrieb:

> Ich würde das ja normalerweise ins Offtopic posten, aber das geht leider
> nicht mehr, desshalb poste ich hier rein.

Na klar geht das noch :), man muss sich halt nur anmelden.  Aber ich
finde die Frage hier übrigens recht gut aufgehoben, Vektoranalysis
ist ja letztlich nur der Name der Mathematiker für das, was die
E-Techniker Feldtheorie nennen.

Autor: ich (Gast)
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>Aber ich finde die Frage hier übrigens recht gut aufgehoben, >Vektoranalysis
>ist ja letztlich nur der Name der Mathematiker für das, was die
>E-Techniker Feldtheorie nennen.

Ja darum habe ich ja hierhin gepostet, ich dachte das kommt dem Thema 
noch am nächsten. Über das Interesse zur Hochfrequenz und magetischen / 
elektrischen Feldern und Wellen bin ich übrigens darauf gekommen, dass 
Kenntnisse zur Vektoranalysis recht hilfreich wären ;)

Autor: eh (Gast)
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Ja. Kenntniss von Vektoranalysis sind essentiell. Ohne die hat Maxwell 
keinen Sinn anzuschauen.
Man kann den Rotationsoperator auch anders herleiten. Der Operator ist 
eine Rotation und wenn ich den auf das Feld anwende, so macht man im 
Wesentlichen eine Kreuzkorrelation des Feldes mit einer Rotation.

Autor: eh (Gast)
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Vektoranalysis und Feldtheorie sind nicht identisch. Die Vektoranalysis 
ist das Fundament der Feldtheorie. Die Mathematiker haben noch nichts 
von Maxwell gehoert. Maxwell ist der physikalische Teil der Feldtheorie. 
Es gibt uebrigend noch andere, nicht minder interessante Anwendungen der 
Vektoranalysis, zb die Fluiddynamik, welche aus der Vektoranalysis plusd 
Navier-Stokes besteht. Hier besteht der physikalische Teil aus 
Navier-Stokes.

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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>>Die Vektoranalysis ist das Fundament der Feldtheorie.
Ist es nicht umgekehrt? Das Konkretere ist doch die Basis des 
Abstrakteren, oder nich?

Cheers
Detlef

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Nein. Diesmal nicht. Die Vektoranalysis besteht aus dem Satz von Gauss 
und so... ist schon zulange her. Dabei kann man ein Oberflaechenintegral 
durch in Volumenintegral ersetzen und solche Geschichten. Allgemeine 
Saetze, wie .. das geschlosssene Linienintegral in einem Potential ist 
Null.
Das sind alles Weisheiten die existieren ohne Maxwell, ohne Physik 
hintendran. Das Einzige, was man dazu koennen muss sind 2D und 
3Dintegrale zusammen mit der Jakobimatrix.

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