Hallo!
Wenn ich die Rotation eines Vektorfelds F berechnen will, bilde ich ja
das Kreuzprodukt aus F und nabla, also:
rot(F) = F x nabla
Das Ergebniss ist wieder ein Vektorfeld, welches jedem Punkt einen
Vektor zuordnet, dessen Länge der doppelten Winkelgeschwindigkeit dieser
Rotationsbewegung entspricht.
Aber warum ist das eigentlich so? Wo ist die Herleitung zu dem ganzen?
Ich würde das ja normalerweise ins Offtopic posten, aber das geht leider
nicht mehr, desshalb poste ich hier rein.
Man kann das z.B. über einen kleinen Umweg, nämlich den Satz von Green
oder über den Satz von Stokes zeigen. Green lässt sich mit Umformerei
von Linienintegralen herleiten. Darin kommt Qx-Py vor. Dies ist die
Z-Komponente der Rotation. Analog gehts auch mit Stokes.
Ich denke nicht, dass einfach einer auf die Idee kam zu sagen "Wir
bilden mal das Kreuzprodukt aus Nabla und einem Vektorfeld und nennen es
Rotation". Das wird sich im Zuge von Green/Stokes etc. so ergeben haben,
dass man festgestellt hat, dass diese Operation in der Herleitung
besagter Sätze vorkommt.
Daniel
Ja ich dachte auch nicht, das das einer einfach so aus Spass an der
Freude gebildet hat. Ich arbeite mich gerade Hobbymäßig in das Thema
Vektoranalysis ein und habe einfach nichts gefunden, im Gegensatz zur
Herleitung von Gradient und Divergenz. Mit Linienintegralen muss ich
mich erst noch befassen und Satz von Green / Stokes kommen auch erst
später an die Reihe. In dem Fall werde ich auf das Problem zurückkommen,
wenn ich mich mit diesen Themen ausgibig beschäftigt habe.
> Ich denke nicht, dass einfach einer auf die Idee kam zu sagen "Wir> bilden mal das Kreuzprodukt aus Nabla und einem Vektorfeld und nennen es> Rotation".
Aber fast. Die Rotation als Differentialoperation in der Vektoranalysis
gibt es schon lange.
Die Schreibweise der Rotation als Nabla x F folgt durch Einführung eines
Differentialoperators (Nabla) und ermöglicht die Kurzschreibweise. Der
Nabla-Operator ist so gebaut, dass sich div, rot, grad und
Laplace-Operator bequem darstellen lassen.
Die Umformungen erfolgen dann mit dem Nabla-Kalkül, das bei vielen nicht
sehr beliebt ist, weil die Regeln des Kalküls oft als uneinsichtig oder
willkürlich empfunden werden. Insofern sind die Nabla-Formulierungen
einfach eine formale Kurzschreibweise, um nicht ständig die
Vektorkomponenten hinschreiben zu müssen.
Was die Interpretation der Rotation angeht, schließe ich mich Daniel an.
Um den Bogen zum Forum: HF, Funk und Felder zu kriegen:
Die konkrete Bedeutung dieser Differentialoperatoren sieht man ehesten
in der Interpretation der Maxwell-Gleichungen in der differentiellen und
integralen Formulierung (oder in der Strömungsmechanik, wo das Zeugs
ursprünglich herkommt).
Gruß,
Nils
>Das Ergebniss ist wieder ein Vektorfeld, welches jedem Punkt einen
Vektor zuordnet, dessen Länge der doppelten Winkelgeschwindigkeit dieser
Rotationsbewegung entspricht.
Ein Rotationsfeld hat nicht direkt eine zeitabhaengikeit, dh es steckt
keine Bewegung dahinter, auch keine Winkelgeschwindigkeit.
Die Rotation gibt in einem Vektorfeld die punktweise Verteilung von
Wirbeln an. Gibt es in dem Gebiet das betrachtet wird keine Wirbel, ist
die Rotation Null. Das heißt, das Vektorfeld ist ein Gradientenfeld und
besitzt eine skalare Potentialfunktion. Soweit die Feldtheorie ( kann
natürlich ausführlicher dargestellt werden )Die Vektoranalysis zeigt
nun, daß das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem anderen Vektor,
in determinanten Schreibweise,
identisch ist mit der Schreibweise der Rotation eines Vektorfeldes z.B.
B-Feld in der determinanten Schreibweise.
ich schrieb:
> Ich würde das ja normalerweise ins Offtopic posten, aber das geht leider> nicht mehr, desshalb poste ich hier rein.
Na klar geht das noch :), man muss sich halt nur anmelden. Aber ich
finde die Frage hier übrigens recht gut aufgehoben, Vektoranalysis
ist ja letztlich nur der Name der Mathematiker für das, was die
E-Techniker Feldtheorie nennen.
>Aber ich finde die Frage hier übrigens recht gut aufgehoben, >Vektoranalysis>ist ja letztlich nur der Name der Mathematiker für das, was die>E-Techniker Feldtheorie nennen.
Ja darum habe ich ja hierhin gepostet, ich dachte das kommt dem Thema
noch am nächsten. Über das Interesse zur Hochfrequenz und magetischen /
elektrischen Feldern und Wellen bin ich übrigens darauf gekommen, dass
Kenntnisse zur Vektoranalysis recht hilfreich wären ;)
Ja. Kenntniss von Vektoranalysis sind essentiell. Ohne die hat Maxwell
keinen Sinn anzuschauen.
Man kann den Rotationsoperator auch anders herleiten. Der Operator ist
eine Rotation und wenn ich den auf das Feld anwende, so macht man im
Wesentlichen eine Kreuzkorrelation des Feldes mit einer Rotation.
Vektoranalysis und Feldtheorie sind nicht identisch. Die Vektoranalysis
ist das Fundament der Feldtheorie. Die Mathematiker haben noch nichts
von Maxwell gehoert. Maxwell ist der physikalische Teil der Feldtheorie.
Es gibt uebrigend noch andere, nicht minder interessante Anwendungen der
Vektoranalysis, zb die Fluiddynamik, welche aus der Vektoranalysis plusd
Navier-Stokes besteht. Hier besteht der physikalische Teil aus
Navier-Stokes.
>>Die Vektoranalysis ist das Fundament der Feldtheorie.
Ist es nicht umgekehrt? Das Konkretere ist doch die Basis des
Abstrakteren, oder nich?
Cheers
Detlef
Nein. Diesmal nicht. Die Vektoranalysis besteht aus dem Satz von Gauss
und so... ist schon zulange her. Dabei kann man ein Oberflaechenintegral
durch in Volumenintegral ersetzen und solche Geschichten. Allgemeine
Saetze, wie .. das geschlosssene Linienintegral in einem Potential ist
Null.
Das sind alles Weisheiten die existieren ohne Maxwell, ohne Physik
hintendran. Das Einzige, was man dazu koennen muss sind 2D und
3Dintegrale zusammen mit der Jakobimatrix.
