Gast
#1515043
Hallo, ich hoffe mir kann jemand helfen bei der Frage wie man sich anschaulich vorstellen kann, dass Polstellen die Systemstabilität beeinflussen. Danke.
Gast
#1515093
Du kannst eine ÜTF einer Partialbruchzerlegung zuführen. Dabei wird aus dem Riesenbruch, in dem eine ÜTF häufig dargestellt ist eine Summe aus kleineren Brüchen, in deren Nenner einzelne Polstellen oder konjugiert komplexe Polstellenpaare stehen. Die Impulsantwort eines solchen kleineren Teilbruches richtet sich nach der Lage der Polstellen: links gibts etwas, das exponentiell abklingt. Rechts etwas, das exponentiell ansteigt. Im Ursprung etwas, das einfach nur konstant bleibt. Konjugiert komplexe Polstellenpaare haben eine Schwingung zu diesem exponentiellen Verlauf aufmoduliert. Das dürfte Deine Frage weitgehend beantwortet haben. Was bleibt ist z.B. warum eine einzelne Polstelle in der rechten Halbebene einem exponentiellen Anstieg entspricht. Dafür habe ich keine anschauliche Erklärung, das kann man aber recht überschaubar nachrechnen (wie auch bei Dir sicher in der Vorlesung gemacht). Viele Grüße, ich hoffe, es hat geholfen, Michael
Gast
#1515099
Noch was: Wenn die Impulsantwort nicht absolut integrierbar ist, ist das System nicht BIBO-stabil. Das ist hier der Fall, wenn die Einhüllende exponentiell ansteigt.
Die Polstellen der z-Transformierten des diskreten Systems müssen im Einheitskreis liegen, damit das System stabil ist. Die Polstellen bestimmen die Rückkoppelkoeffizienten des Systems. Jetzt mal dahergeschwatzt: Wenn die Beträge der Polstellen größer als eins sind, werden die auf den Eingang zurückgekoppelten Zustandsgrößen tendenziell betragsmäßig 'größer', deswegen geht die Stabilität verloren. Cheers Detlef
Gast
#1518839
Ich finde es recht anschaulich, wenn du mal mit dem Residuensatz eine Ü-Funktion aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich transformierst. Dabei wirst du feststellen, dass genau die Polstellen deiner Ü-Funktion als Exponenten einer E-Funktion auftauchen. Wenn nun die Polstelle einen positiven Realteil hat, wird diese E-Funktion mit der Zeit immer größer. Da aber die Ü-Funktion im Zeitbereich eine Superposition aller Polstellen ist, müssen, damit diese stabil ist, alle Pole einen negatvien Realteil haben. Das gleiche gilt auch für den z-Bereich. Nur das eben dort die negative reale Halbebene in den Einheitskreis transformiert wird. Es entspricht dann die Polstelle s im Laplace-Bereich der Pollstelle e^(s*T) mit der Abtastzeit T. Ich hoffe, dass dir das etwas geholfen hat.
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