Polstellen Systemstabilität

[gamon (Gast)]

Hallo,

ich hoffe mir kann jemand helfen bei der Frage wie man sich anschaulich 
vorstellen kann, dass Polstellen die Systemstabilität beeinflussen.
Danke.

[Michael (Gast)]

Du kannst eine ÜTF einer Partialbruchzerlegung zuführen. Dabei wird aus 
dem Riesenbruch, in dem eine ÜTF häufig dargestellt ist eine Summe aus 
kleineren Brüchen, in deren Nenner einzelne Polstellen oder konjugiert 
komplexe Polstellenpaare stehen.

Die Impulsantwort eines solchen kleineren Teilbruches richtet sich nach 
der Lage der Polstellen: links gibts etwas, das exponentiell abklingt. 
Rechts etwas, das exponentiell ansteigt. Im Ursprung etwas, das einfach 
nur konstant bleibt. Konjugiert komplexe Polstellenpaare haben eine 
Schwingung zu diesem exponentiellen Verlauf aufmoduliert.

Das dürfte Deine Frage weitgehend beantwortet haben. Was bleibt ist z.B. 
warum eine einzelne Polstelle in der rechten Halbebene einem 
exponentiellen Anstieg entspricht. Dafür habe ich keine anschauliche 
Erklärung, das kann man aber recht überschaubar nachrechnen (wie auch 
bei Dir sicher in der Vorlesung gemacht).

Viele Grüße, ich hoffe, es hat geholfen,
Michael

[Michael (Gast)]

Noch was: Wenn die Impulsantwort nicht absolut integrierbar ist, ist das 
System nicht BIBO-stabil. Das ist hier der Fall, wenn die Einhüllende 
exponentiell ansteigt.

[Detlef _. (detlef_a)]

Die Polstellen der z-Transformierten des diskreten Systems müssen im 
Einheitskreis liegen, damit das System stabil ist. Die Polstellen 
bestimmen die Rückkoppelkoeffizienten des Systems.
Jetzt mal dahergeschwatzt: Wenn die Beträge der Polstellen größer als 
eins sind, werden die auf den Eingang zurückgekoppelten Zustandsgrößen 
tendenziell betragsmäßig 'größer', deswegen geht die Stabilität 
verloren.

Cheers
Detlef

[Systemtheorie-Profi (Gast)]

Ich finde es recht anschaulich, wenn du mal mit dem Residuensatz eine 
Ü-Funktion aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich transformierst. 
Dabei wirst du feststellen, dass genau die Polstellen deiner Ü-Funktion 
als Exponenten einer E-Funktion auftauchen. Wenn nun die Polstelle einen 
positiven Realteil hat, wird diese E-Funktion mit der Zeit immer größer. 
Da aber die Ü-Funktion im Zeitbereich eine Superposition aller 
Polstellen ist, müssen, damit diese stabil ist, alle Pole einen 
negatvien Realteil haben.
Das gleiche gilt auch für den z-Bereich. Nur das eben dort die negative 
reale Halbebene in den Einheitskreis transformiert wird. Es entspricht 
dann die Polstelle s im Laplace-Bereich der Pollstelle e^(s*T) mit der 
Abtastzeit T.
Ich hoffe, dass dir das etwas geholfen hat.