Überschreitung einer Linie AVR - GPS

Wie sind denn überhaupt die Rahmenbedingungen für die Aufgabe? Bei 
kleinem Abstand zwischen den Punkten könnte es vielleicht reichen, die 
Welt als Scheibe mit rechtwinkligem Koordinatensystem zu betrachten...

Bei 30-40m ist die Erdkrümmung so gering, das sollte ohne Kugelgeometrie 
gehen.

Ok, Lösungsidee, erstmal selber versuchen das umzusetzen:
Du hast zwei Punkte A und B, die definieren deine "Grenzlinie".

Du hast zwei Punkte X1 und X2, die Position des GPS-Empfängers JETZT und 
von vor 1 Sekunde (10 sekunden, 1 Minute, ... nach Lust und Laune), 
diese definieren deine "Bewegungslinie".

Wenn sich diese beiden Linien schneiden: Grenze überschritten.

Wie stellt man fest, ob sich zwei Strecken schneiden (= Einen 
gemeinsamen Punkt enthalten)? => Geometrie 5. Klasse. Wikipedia. Oder 
mal scharf nachdenken.

Hagis schrieb:

> Die Geraden AB und AP haben eine gewisse Steigung m bzw. n. t sei die
> Differenz der Beträge der beiden Steigungen.


nicht!

In der Geometrie ist die Geradengleichung

1

   y = m * x + d

praktisch nicht zu gebrauchen!

Den Schnittpunkt 2-er Geraden rechnet mit mit diesem Ansatz

 gegeben 2 Gerade A und B mit den Endpunkten
      PA1, PA2
 bzw. PB1, PB2

Für jeden Punkt PA auf der Geraden A gibt es ein tA, sodass gilt

1

    PA = PA1 + tA * dA            ( wobei dA = PA2 - PA1 )

Genauso gilt für jeden Punkt PB auf der Geraden B ein tB, sodass

1

    PB = PB1 + tB * dB            ( wobei dB = PB2 - PB1 )

Gibt es einen Schnittpunkt der beiden Geraden, nennen wir ihn PS,
dann muss dieser Punkt logischerweise auf Gerade A liegen

1

    PS = PA1 + tAs * dA     (I)

und er muss auch auf Geraden B liegen

1

    PS = PB1 + tBs * dB     (II)

Da es sich aber in beiden Fällen um denselben Punkt handelt, muss 
klarerweise gelten

1

    PA1 + tAs * dA  =  PB1 + tBs * dB

Dies ist eine Vektorgleichung, da ja jeder Punkt dir x und y beschrieben 
ist. Also haben wir da in Wirklichkeit 2 Gleichungen

1

    PA1x + tAs * ( PA2x - PA1x )  =  PB1x + tBs * ( PB2x - PB1x )

2

    PA1y + tAs * ( PA2y - PA1y )  =  PB1y + tBs * ( PB2y - PB1y )

Das sind 2 Gleichungen in 2 Unbekannten (tAs und tBs) und das lässt sich 
lösen. Heraus kommt eine Lösungsformel, die den ganzen Zirkus den du bei 
Anwenden der linearen Gleichung y = k*x+d nicht hast. Bei dir ist 
nämlich das Problem, dass die Steigung k bei Geraden, die nahezu 
senkrecht stehen über alle Grenzen wächst und im Grenzwert 90° unendlich 
wird. All das hast du mit dem t-Ansatz nicht. Die Lösungsformel ergibt 
einen Bruch. Und wie immer bei Brüchen muss man darauf achten, dass 
nicht durch 0 dividiert wird. In diesem Fall hat aber eine versuchte 
DIvision durch 0 auch eine geometrische Sonderrolle: In diesem Fall sind 
die Geraden parallel und es existiert kein Schnittpunkt. Aber abgesehen 
von diesem Parallel-Sonderfall gibt es keinen anderen Sonderfall, der 
einem das Leben schwer machen könnte. Die Geraden können liegen wie sie 
wollen.


Und im übrigen muss man gar keinen Schnittpunkt berechnen.
Es genügt völlig, wenn man berechnet, auf welcher Seite der Geraden ein 
bestimmter Punkt liegt. Das Überschreiten der Geraden wird dann dadurch 
angezeigt, dass der nächste Testpunkt, auf der anderen Seite der Geraden 
liegt.
Wie bestimmt man, auf welcher Seite einer Geraden ein Punkt liegt?
Ganz einfach: (keine Sorge, die Mathe dahinter fägnt jetzt erst mal 
kompliziert an, aber sie vereinfacht sich zum Schluss hin extrem, bis 
eine ganz einfache Formel übrig bleibt)

Man geht vom 2D ins 3D.
Gegeben sind dann 2 Vektoren in einer Ebene. Der eine wird gebildet von 
der Geraden, gegeben durch 2 Punkte PA1 und PA2. Der andere wird 
gebildet von dem Testpunkt P und einem der beiden Endpunkte der Linie, 
nehmen wir einfach mal PA1.

1

  V1:    ( PA2x - PA1x ; PA2y - PA1y ; 0.0 )

2

  V2:    ( Px - PA1x   ; Py - PA1y   ; 0.0 )

(Zur Erinnerung: Wir sind vom 2D ins 3D gegangen und die beiden Vektoren 
liegen in der x/y Ebene. Daher sind die z-Komponenten der Vektoren 
jeweils 0.

Nun kann man im 3D mit 2 Vektoren ein Koordinatensystem aufspannen. Die 
z-Komponente des Koordinatensystems erhält man, indem man das 
Kreuzprodukt der beiden Vektoren bildet. Und auf diese z-Komponente sind 
wir aus: Sie muss logischerweise senkrecht auf die x/y stehen. Aber: je 
nachdem wie die beiden Vektoren zueinander orientiert sind, zeigt der 
z-Vektor (von aussen betrachtet) einmal in die x/y Eben hinein und 
einmal heraus. Und genau das ist unser Kriterium, auf welcher Seite der 
Geraden sich der Punkt befindet.

Wir rechnen also

1

       V1x              V2x

2

       V1y     kreuz    V2y

3

       0.0              0.0

und das ergibt

1

       V1y * 0.0 - 0.0 * V2y    = Rx

2

       0.0 * V2x - V1x * 0.0    = Ry

3

       V1x * V2y - V1y * V2x    = Rz

die x bzw. y Komponente des Z-Vektors müssen 0 sein (weil ja der 
Z-Vektor senkrecht auf die x/y Ebene steht) und genau das ist im 
Ergebnis auch der Fall. Sowohl Rx als auch Ry sind jeweils 0.

Für uns ist nur das Vorzeichen von Rz interessant. Ist es positiv so 
befindet sich der Testpunkt auf der einen Seite der Geraden, ist es 
negativ, so ist der Testpunkt auf der anderen Seite. Ist Rz 0, dann 
liegt der Testpunkt exakt auf der Geraden PA2 - PA1

Um also zu bestimmen, auf welcher Seite der Geraden PA1 PA2 ein 
Testpunkt P liegt, berechnen wir

1

  V1x * V2y - V1y * V2x

wobei V1x = PA2x - PA1x ; V1y = PA2y - PA1y
      V2x = Px - PA1x ; Py - PA1y

in Summe also

1

   ( PA2x - PA1x ) * ( Py - PA1y ) - ( PA2y - PA1y ) * ( Px - PA1x )

Das Vorzeichen dieses Ausdrucks sagt uns, auf welcher Seite der Geraden 
sich der Punkt befindet.

Nun kann man das alles natürlich auch auf Grosskreise übertragen und 
sich fragen auf welcher Seite einer Ebene sich ein Punkt befindet, wobei 
die Punkte durch die beiden Endpunkte der Geraden und dem Erdmittelpunkt 
gebildet werden. Allerdings ist die Kugel gross genug, dass man den 
Fehler, der durch Projektion auf eine Tangetialebene in der Mitte der 
Geraden gemacht wird, vernachlässigen kann.
-> die GPS Koordinaten in 2D Koordinaten umwandeln. Obige Gleichung 
anwenden und feststellen ob bei 2 aufeinanderfolgenden Punkten sich das 
Vorzeichen des Testausdrucks geändert hat.

Hallo,

ich würde zwei Linen ziehen. Eine von Punkt X zu A und eine von X zu B. 
Ist der Winkel dieser beiden Linien zueinander > 180° dann ist man vor 
der Ziellinie bei <180° hinter der Linie.

debe

Dieter B. schrieb:
> Hallo,
>
> ich würde zwei Linen ziehen. Eine von Punkt X zu A und eine von X zu B.
> Ist der Winkel dieser beiden Linien zueinander > 180° dann ist man vor
> der Ziellinie bei <180° hinter der Linie.

So etwas ähnliches macht letztendes mein Vorschlag. Nur brauch ich dazu 
keine Trigonometrie. :-)

Die Endformel berechnet im Grunde nichts anderes als den Sinus des 
Winkels zwischen ( B - A ) und ( X - A )