Guten Tag!
Wir haben letztens eine Matheaufgabe bekommen, vielleicht könnt ihr mich
ja von der Wahrheit überzeugen;).
Aufgabe:
Gegeben sind die Funktionen "F" und "G" mit
f(x) = -4x³+5x²+23x-4
g(x) = -2x³-7x²+9x-4
- An welchen Stellen sind die Tangenten an die beiden Graphen parallel
zueinander?
- Bestimmen Sie für diese Stellen die Gleichungen der Tangenten.
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Eins vorweg. Ich bin immer noch der Meinung, dass die Tangenten an mehr
als nur 2 Punkten Parallel zueinander sind oder muss man das immer zu
einer bestimmten X-Koordinate bestimmen?
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Meine Vorgehensweise:
1. Ableitung:
f'(x) = -12x² + 10 x + 23
g'(x) = -6x² -14x + 9
2. Gleichsetzen:
f'(x) = g'(x)
-12x² + 10 x + 23 = -6x² -14x + 9
=> -6x² + 24x + 14 = 0 |:-6
x² - 4x - 7/3 = 0
3. Nullstellenbestimmung
PQ-Formel
4/2 +/- \sqrt{(4/2)² + 14}
x_1 = 3,29
x_2 = 0,7
f(3,29)=-16,65
f(0,7) =13,18
g(3,29)=-121,38
g(0,7) =-1,82
P_1 = (3,29/-16,65)
P_2 = (0,7/13,18)
P_3 = (3,29/-121,38)
P_4 = (0,7/-1,82)
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Das müssten die Punkte sein, oder ist das Falsch?
Wie komme ich denn jetzt auf die Steigung? Muss ich das Ergebnis dann
wieder in die erste Ableitung einfügen?
Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen
könntet. Ich bin schon etwas länger am rätseln ;).. Vielen Dank schonmal
Gruß,
Bene :)
Benedict Died schrieb: > -12x² + 10 x + 23 = -6x² -14x + 9 > => -6x² + 24x + 14 = 0 |:-6 > x² - 4x - 7/3 = 0 > > > 3. Nullstellenbestimmung > > PQ-Formel > > 4/2 +/- \sqrt{(4/2)² + 14} Wieso 14? 7/3 > Das müssten die Punkte sein, oder ist das Falsch? Der Rechenvorgang sieht richtig aus. > Wie komme ich denn jetzt auf die Steigung? Deine erhaltenen x-Werte in die Ableitungen einsetzen. (Du errinerst dich vielleicht zurück, als ihr mit Ableitungen angefangen habt. Die Ableitung als Grenzwert wurde genau so konstruiert, dass die Ableitung der Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve entspricht) Muss für P_1 und P_3 bzw. P_2 und P_4 den gleichen Wert ergeben. Den das war ja der Ausgangspunkt, als du die Ableitungen gleich gesetzt hast. Nur kanntest du dort noch nicht den Wert. Setz aber trotzdem in beide Ableitungen ein, nur so zur Kontrolle, ob sich nicht irgendwo ein Vorzeichen oder Rechenfehler eingeschlichen hat.
Hab vielen Dank für die schnelle Antwort :) Muss ich denn nun die Punkte, die ich aus der Nullstellenbestimmung erhalten habe, wieder in die abgeleitete Formel einfügen? Was erhalte ich denn da? Ich brauch die Steigung der Parallelen in Forme einer Gleichung..Ich bin etwas verwirrt. Vielleicht denke ich gerade etwas falsch ;).. Gruß, Bene
Benedict Died schrieb: > Hab vielen Dank für die schnelle Antwort :) > > Muss ich denn nun die Punkte, die ich aus der Nullstellenbestimmung > erhalten habe, wieder in die abgeleitete Formel einfügen? Was erhalte > ich denn da? Ich brauch die Steigung der Parallelen in Forme einer > Gleichung..Ich bin etwas verwirrt. Vielleicht denke ich gerade etwas > falsch ;).. Du hast mehrere Gleichungen. Die "Verbindung" all dieser Gleichungen miteinander ist die x-Koordinate. Jetzt sieh die Gleichungen noch als Funktionen. Dann: Mit der nullten Ableitung kannst du die Y Koordinate an der Stelle X ermitteln. Mit der ersten Ableitung kannst du die Steigung an der Stelle X ermitteln. Mit der zweiten Ableitung kannst du die Steigung der Steigung des Originalgraphs an der Stelle X ermitteln. Wenn du jetzt die Steigung an einer X Koordinate haben willst, benutzt du natürlich die 1. Ableitung. Da du im vorherigen Schritt sogar bewiesen hast, dass beide Graphen an den herausgefundenen X Koordinaten die gleiche Steigung besitzen, ist es sogar egal, welche der beiden Funktionen du benutzt um die Steigung zu ermitteln. Die Steigung ist in dem Falle nur eine einfache Zahl. Was für eine Gleichung brauchst du denn für die Steigung? Die Geradengleichung? Die ist y = m*x = f'(x) * x, wobei m die Steigung ist (aus der ersten Ableitung). Dann hast du die Geradengleichung einer parallelen der Steigung.
Achso..Dann hab ich doch richtig gedacht. Danke für die zweite schnelle Antwort. Super :)
Simon K. schrieb:
> Die Geradengleichung? Die ist y = m*x = f'(x) * x,
Genau genommen ist die Geradengleichung aber
y = m*x + d
Ist aber kein Problem.
Du kennst ja einen Punkt auf der Geraden :-)
Nämlich den Punkt an dem du die Tangente bestimmt hast.
Du hast also m, x, und y und kannst damit d berechnen.
Und natürlich musst du das 4 mal machen. Du hast ja 4 verschiedene
Geraden, die allesamt Tangenten an die Funktion sind und parallel
zueinander liegen (identisches m haben)
Die Afgabenstellung lautete ja:
- Bestimmen Sie für diese Stellen die Gleichungen der Tangenten.
und davon gibt es nunmal 4 Stück.
Jetzt ist nun noch die Frage ob die Aufgabenstellung genau das verlangt, was ich da gemacht habe. Genaugenommen habe ich doch zu mehr als nur 4 X-Koordinaten (Wenn man das nicht nur auf die X-Koordinaten bezieht) Tangenten an den beiden Graphen die parallel zueinander sind, oder nicht? Gruß, Bene
Jetzt betreibst du aber Wortklauberei. Die Aufgabe - An welchen Stellen sind die Tangenten an die beiden Graphen parallel zueinander? könnte man natürlich auch so interpretieren. Allerings wird es dann unendlich viele Lösungen geben :-) Die naheligende Interpretation wird aber sein: Unter einer 'Stelle' versteht man eine ganz bestimmte x-Koordinate. Die beiden Funktionen werden an jeweils dieser einen ganz bestimmten x-Koordinate unterschiedliche Steigungen haben. Bis auf ein paar Ausnahmen. Es wird eine (oder mehrere) x-Koordinaten geben, an denen beide Funktionen identische Tangentensteigungen besitzen. Und diese sind gesucht. Die andere Fragestellung wäre ja: Wähle ein x auf F (nennen wir es xf). An dieser Stelle hat F eine bestimmte Steigung. Suche nun dasjenige x in G, welches dieselbe Steigung hat. Dann kann man sich natürlich fragen: Gibt es dafür einen funktionalen Zusammenhang. Sprich: kann man berechnen, welcher Punkt auf G dieselbe Steigung aufweist, wie xF? Das Ergebnis davon wird aber eine Funktion sein und nicht einige konkrete 'Stellen'.
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