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Forum: Offtopic Zwei Funktionen - Parallel?


Autor: Benedict Died (Firma: home) (bene)
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Guten Tag!

Wir haben letztens eine Matheaufgabe bekommen, vielleicht könnt ihr mich 
ja von der Wahrheit überzeugen;).

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen "F" und "G" mit

f(x) = -4x³+5x²+23x-4
g(x) = -2x³-7x²+9x-4

- An welchen Stellen sind die Tangenten an die beiden Graphen parallel 
zueinander?
- Bestimmen Sie für diese Stellen die Gleichungen der Tangenten.

--------------------------------
Eins vorweg. Ich bin immer noch der Meinung, dass die Tangenten an mehr 
als nur 2 Punkten Parallel zueinander sind oder muss man das immer zu 
einer bestimmten X-Koordinate bestimmen?
--------------------------------

Meine Vorgehensweise:

1. Ableitung:

f'(x) = -12x² + 10 x + 23
g'(x) = -6x² -14x + 9



2. Gleichsetzen:

f'(x) = g'(x)
-12x² + 10 x + 23 = -6x² -14x + 9
=> -6x² + 24x + 14 = 0 |:-6
x² - 4x - 7/3 = 0


3. Nullstellenbestimmung

PQ-Formel

4/2 +/- \sqrt{(4/2)² + 14}
x_1 = 3,29
x_2 = 0,7


f(3,29)=-16,65
f(0,7) =13,18

g(3,29)=-121,38
g(0,7) =-1,82


P_1 = (3,29/-16,65)
P_2 = (0,7/13,18)
P_3 = (3,29/-121,38)
P_4 = (0,7/-1,82)
------------------
Das müssten die Punkte sein, oder ist das Falsch?

Wie komme ich denn jetzt auf die Steigung? Muss ich das Ergebnis dann 
wieder in die erste Ableitung einfügen?


Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen 
könntet. Ich bin schon etwas länger am rätseln ;).. Vielen Dank schonmal

Gruß,
Bene :)

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Benedict Died schrieb:

> -12x² + 10 x + 23 = -6x² -14x + 9
> => -6x² + 24x + 14 = 0 |:-6
> x² - 4x - 7/3 = 0
>
>
> 3. Nullstellenbestimmung
>
> PQ-Formel
>
> 4/2 +/- \sqrt{(4/2)² + 14}

Wieso 14?
7/3

> Das müssten die Punkte sein, oder ist das Falsch?

Der Rechenvorgang sieht richtig aus.

> Wie komme ich denn jetzt auf die Steigung?

Deine erhaltenen x-Werte in die Ableitungen einsetzen.
(Du errinerst dich vielleicht zurück, als ihr mit Ableitungen angefangen 
habt. Die Ableitung als Grenzwert wurde genau so konstruiert, dass die 
Ableitung der Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve 
entspricht)

Muss für P_1 und P_3  bzw. P_2 und P_4 den gleichen Wert ergeben.
Den das war ja der Ausgangspunkt, als du die Ableitungen gleich gesetzt 
hast. Nur kanntest du dort noch nicht den Wert. Setz aber trotzdem in 
beide Ableitungen ein, nur so zur Kontrolle, ob sich nicht irgendwo ein 
Vorzeichen oder Rechenfehler eingeschlichen hat.

Autor: Benedict Died (Firma: home) (bene)
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Hab vielen Dank für die schnelle Antwort :)

Muss ich denn nun die Punkte, die ich aus der Nullstellenbestimmung 
erhalten habe, wieder in die abgeleitete Formel einfügen? Was erhalte 
ich denn da? Ich brauch die Steigung der Parallelen in Forme einer 
Gleichung..Ich bin etwas verwirrt. Vielleicht denke ich gerade etwas 
falsch ;)..

Gruß,
Bene

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Benedict Died schrieb:
> Hab vielen Dank für die schnelle Antwort :)
>
> Muss ich denn nun die Punkte, die ich aus der Nullstellenbestimmung
> erhalten habe, wieder in die abgeleitete Formel einfügen? Was erhalte
> ich denn da? Ich brauch die Steigung der Parallelen in Forme einer
> Gleichung..Ich bin etwas verwirrt. Vielleicht denke ich gerade etwas
> falsch ;)..

Du hast mehrere Gleichungen. Die "Verbindung" all dieser Gleichungen 
miteinander ist die x-Koordinate. Jetzt sieh die Gleichungen noch als 
Funktionen. Dann:
Mit der nullten Ableitung kannst du die Y Koordinate an der Stelle X 
ermitteln.
Mit der ersten Ableitung kannst du die Steigung an der Stelle X 
ermitteln.
Mit der zweiten Ableitung kannst du die Steigung der Steigung des 
Originalgraphs an der Stelle X ermitteln.

Wenn du jetzt die Steigung an einer X Koordinate haben willst, benutzt 
du natürlich die 1. Ableitung. Da du im vorherigen Schritt sogar 
bewiesen hast, dass beide Graphen an den herausgefundenen X Koordinaten 
die gleiche Steigung besitzen, ist es sogar egal, welche der beiden 
Funktionen du benutzt um die Steigung zu ermitteln.

Die Steigung ist in dem Falle nur eine einfache Zahl. Was für eine 
Gleichung brauchst du denn für die Steigung?
Die Geradengleichung? Die ist y = m*x = f'(x) * x, wobei m die Steigung 
ist (aus der ersten Ableitung). Dann hast du die Geradengleichung einer 
parallelen der Steigung.

Autor: Benedict Died (Firma: home) (bene)
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Achso..Dann hab ich doch richtig gedacht. Danke für die zweite schnelle 
Antwort. Super :)

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Simon K. schrieb:

> Die Geradengleichung? Die ist y = m*x = f'(x) * x,

Genau genommen ist die Geradengleichung aber
    y = m*x + d

Ist aber kein Problem.
Du kennst ja einen Punkt auf der Geraden :-)
Nämlich den Punkt an dem du die Tangente bestimmt hast.
Du hast also m, x, und y und kannst damit d berechnen.
Und natürlich musst du das 4 mal machen. Du hast ja 4 verschiedene 
Geraden, die allesamt Tangenten an die Funktion sind und parallel 
zueinander liegen (identisches m haben)

Die Afgabenstellung lautete ja:
- Bestimmen Sie für diese Stellen die Gleichungen der Tangenten.

und davon gibt es nunmal 4 Stück.

Autor: Benedict Died (Firma: home) (bene)
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Jetzt ist nun noch die Frage ob die Aufgabenstellung genau das verlangt, 
was ich da gemacht habe.
Genaugenommen habe ich doch zu mehr als nur 4 X-Koordinaten (Wenn man 
das nicht nur auf die X-Koordinaten bezieht) Tangenten an den beiden 
Graphen die parallel zueinander sind, oder nicht?

Gruß,
Bene

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Jetzt betreibst du aber Wortklauberei.

Die Aufgabe
- An welchen Stellen sind die Tangenten an die beiden Graphen parallel
zueinander?

könnte man natürlich auch so interpretieren. Allerings wird es dann 
unendlich viele Lösungen geben :-)

Die naheligende Interpretation wird aber sein:
Unter einer 'Stelle' versteht man eine ganz bestimmte x-Koordinate. Die 
beiden Funktionen werden an jeweils dieser einen ganz bestimmten 
x-Koordinate unterschiedliche Steigungen haben. Bis auf ein paar 
Ausnahmen. Es wird eine (oder mehrere) x-Koordinaten geben, an denen 
beide Funktionen identische Tangentensteigungen besitzen. Und diese sind 
gesucht.

Die andere Fragestellung wäre ja:
Wähle ein x auf F (nennen wir es xf). An dieser Stelle hat F eine 
bestimmte Steigung. Suche nun dasjenige x in G, welches dieselbe 
Steigung hat. Dann kann man sich natürlich fragen: Gibt es dafür einen 
funktionalen Zusammenhang. Sprich: kann man berechnen, welcher Punkt auf 
G dieselbe Steigung aufweist, wie xF? Das Ergebnis davon wird aber eine 
Funktion sein und nicht einige konkrete 'Stellen'.

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