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Forum: Mikrocontroller und Digitale Elektronik LGS für verzweigten Stromkreis erstellen.


Autor: Manuel (Gast)
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Hallo Leute

Ich habe in Mathe eine, meiner Meinung nach, unlösbare Aufgabe bekommen. 
Also im Netz habe ich keine Lösung gefunden und weiß auch nicht im 
geringsten wie ich anfangen soll.

Ich bitte euch mir zu hefen weil ich es allein nie schaffen werde.

http://img718.yfrog.com/img718/1609/unbenanntbf.png

Hier die Aufgabe. Nett wäre auch wenn ihr mir einfach sagt wie ich diese 
Aufgabe angehe.

Grüße Manuel

Autor: Tom Ekman (tkon)
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Die Lösung steht fast schon im Text:
Stelle ein LGS (lineares Gleichunssystem) auf indem alle R's, I's und 
U's die angegeben sind mindestens einmal vorkommen.
Lösen ist nicht notwendig.

Autor: Manuel (Gast)
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Hehe Tom...

Ich weiß nicht so richtig... wenn es wirklich so trivial ist dann 
erklär' mir bitte wie das funktioniert. Ich weiß nich wie.

Autor: LUT (Gast)
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Stell mal alle Maschen- und Knotengleichungen auf (Kirchhof'sche Regeln) 
und dann erstell ein Gleichungssystem, dass Spannung, Wiederstand und 
Strom verknüpft (Ohm'sches Gesetzt).
Du hast 5 Widerstände, also wirst du 5 Gleichungen brauchen, es kann 
aber leicht sein das die Summe der Maschen- und Knotengleichungen größer 
als 5 ist, dann kannst du dir 5 aussuchen (Stichwort Erzeugendensystem 
bzw. lineare Unabhängigkeit).

Autor: Tom Ekman (tkon)
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Der Anfang:
U = R3*I3 + R4*I4 + Ri*I
0 = I1 + I2 + IA
...
wenn ichs richtig erkennen konnte

Autor: Manuel (Gast)
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Phu ich häng grad noch bei den Kirchhoffschen Regeln...

Autor: LUT (Gast)
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Wikipedia und Google können dir sicher dabei helfen.

P.S.: was studierst du eigentlich?

Autor: Joijoijoi (Gast)
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Superposition!
Führ auch sehr gut zum Ziel!


(Mal so als Tipp für dich, womit du dich beschäftigen kannst)
(Oder Knotenpotentialverfahren)

Autor: Manuel (Gast)
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Also hier noch einmal ein besseres Bild der Skizze:
http://img697.yfrog.com/img697/3628/25418394.png


Liege ich mit den folgenden Annahmen richtig?

IN A:
0 = I_1 + I_3 - I

IN B:
0 = I_4 + I_2 - I

IN C:
0 = I_A + I_1 - I_2

IN D:
0 = I_A + I_4 - I_3


Ich studiere Informatik, das ist Mathe aus dem ersten Semester (Mathe 
für Ingenieure und Naturwissenschaftler).

Autor: Manuel (Gast)
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Ich glaube Netzwerkanalyse auf Wiki ist schon genau das richtige. 
Allerdings habe ich das mit den Maschen noch nicht richtig verstanden.

Autor: Gastofatz (Gast)
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>Liege ich mit den folgenden Annahmen richtig?
>
>IN A:
>0 = I_1 + I_3 - I

Ja. Du brauchst aber nur #Knoten - 1 Knotengleichungen aufzustellen, 
also hier 4 - 1 = 3. Die Gleichung des letzten verbleibenden Knotens ist 
linear abhängig von allen anderen und enthält deswegen keine zusätzliche 
Information. (Addier mal die ersten 3 Knotengleichungen. Was kommt 
heraus?)

Ich würds auch so schreiben:

Knoten A: I_1 + I_3 - I = 0
Knoten B: I_4 + I_2 - I = 0
Knoten C: I_A + I_1 - I_2 = 0

Jetzt brauchst Du noch 3 Maschengleichungen:
Masche XYZX: ... = 0
Masche ...: ... = 0
Masche ...: ... = 0

Insgesamt musst Du am Schluß ja 6 Gleichungen für 6 Unbekannte haben, 
nämlich die Ströme in den 6 Zweigen. Dann bist Du auch schon fertig mit 
der Aufgabe.

Autor: Manuel (Gast)
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Gastofatz schrieb:
> Ja. Du brauchst aber nur #Knoten - 1 Knotengleichungen aufzustellen,
> also hier 4 - 1 = 3. Die Gleichung des letzten verbleibenden Knotens ist
> linear abhängig von allen anderen und enthält deswegen keine zusätzliche
> Information. (Addier mal die ersten 3 Knotengleichungen. Was kommt
> heraus?)

Ich kann mir die 3 beliebig auswählen, oder?
Ich frage weil du sagtest "Die Gleichung des letzten verbleibenden 
Knotens ist linear abhängig von allen anderen". Aber eigentlich sind 
alle l.Unabh. voneinander. Oder sehe ich das falsch?

Das Ergebnis der Addition hat bei mir zu nix geführt. Nur ein paar 
doppelte und negative I_x.

Des weiteren habe ich nun:

O = R_2*I_2  + R_4*I_4 + R_A*I_A
O = R_1*I_1  + R_3*I_3 + R_A*I_A

Kann ich als Masche betracheten was ich will?

Gilt hier auch...

0= U_q + R_3*I_3 +         R_4*I_4                 + R_i*I

...und solch ganz weit hergeholtes wie z.B...

0= U_q + R_3*I_3 +        R_2*I_2 + R_A*I_A        + R_i*I

...als Masche?

Autor: Gastofatz (Gast)
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>Ich kann mir die 3 beliebig auswählen, oder?

Ja. Die eine, die übrigbleibt, meinte ich mit "die letzte verbleibende". 
Das kann jede der 4 Knotengleichungen sein.

>Aber eigentlich sind alle l.Unabh. voneinander.

Je 3 davon - egal welche - sind linear unabhängig, die letzte vierte ist 
immer linear abhängig. Oder: Wenn Du die linken Seiten (*) aller 4 
Knotengleichungen in eine Matrix schreibst, hat diese zwar die Dimension 
4, aber nur den Rang 3.

(*) In Deiner Notation die rechten Seiten. Üblich ist aber "... = 0".

>Das Ergebnis der Addition hat bei mir zu nix geführt.

Das liegt daran, dass Du nicht immer die von einem Knoten wegfließenden 
Ströme mit "-" und die zu ihm hinfließenden mit "+" verrechnet hast. 
Wenn Du hier konsequent bist, bekommst Du durch die Addition gerade die 
Gleichung des vierten Knotens multipliziert mit -1. Oder: Wenn Du alle 4 
Knotengleichungen addieren würdest, käme "0 = 0" heraus.

>Des weiteren habe ich nun:
>
>O = R_2*I_2  + R_4*I_4 + R_A*I_A

Vorzeichen beachten! Bei R2 läufst Du gegen I2, aber bei R4 läufst Du 
mit I4. Nochmal überlegen und dann richtig machen! :-)

>...und solch ganz weit hergeholtes wie z.B ..... als Masche?

Ja, Du hast bei dem Maschen Wahlfreiheit. Du darfst also beliebig wilde 
Runden in dem Netzwerk drehen, solange Du nur wieder an dem 
Ausgangspunkt zurückkommst. Einzige Bedingung: Jeder Zweig muss 
wenigstens einmal durchlaufen werden. In der Praxis empfiehlt es sich 
aber sehr, möglichst kleine Maschen zu wählen, damit die Gleichungen 
schön kurz werden.

Autor: Thomas S. (tsalzer)
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@Lut

>...5 aussuchen (Stichwort Erzeugendensystem
>  bzw. lineare Unabhängigkeit).

Ich will nicht stänkern, aber hast Du Dich nur verschrieben mit dem 
"Erzeugendensystem", oder ist das vllt. eine (evtl.schweizerische) 
Bezeichnung?


guude
ts

Autor: Manuel (Gast)
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U_1 + U_2 + U_I       - U_q = 0
U_3 + U_4 + U_I       - U_q = 0
U_1 + U_4 + U_A + U_I - U_q = 0
U_2 + U_3 + U_A + U_I - U_q = 0

I_1 + I_3 - I    = 0
I_2 + I_4 - I    = 0
I_1 - I_2 + I_A  = 0
I_4 - I_3 + I_A  = 0


So...^^^nach kleiner Pause und nem langem Gespräch mit meinem Vater 
(Elektrogenius) hab ich es endlich etwas verstanden.

Also meine Lösung besteht aus jeweils 3 Zeilen der oberen 2 Blöcke 
untereinander geschrieben. Mehr war ja eigentlich nicht verlangt.

Was meint ihr dazu stimmt das soweit?

Autor: LUT (Gast)
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Thomas S. schrieb:
>>...5 aussuchen (Stichwort Erzeugendensystem
>>  bzw. lineare Unabhängigkeit).
>
> Ich will nicht stänkern, aber hast Du Dich nur verschrieben mit dem
> "Erzeugendensystem", oder ist das vllt. eine (evtl.schweizerische)
> Bezeichnung?

"Erzeugendensystem" sollte eigentlich im ganzen deutschen Sprachraum 
bekannt sein.
Wenn du Vektoren (v_1, ..., v_n) hast, die den Vektorraum V vollständig 
aufspannen, dann spricht man von einem Erzeugendensystem von V. Wenn 
dieses EZS auch linear unabhängig ist, dann spricht man von einer
Basis von V.
Für das Beispiel vom TS heißt das, wenn er mehr Gleichungen hat als er 
zum lösen des LGS braucht, dann hat er ein Erzeugendensystem.

Autor: Marek N. (bruderm)
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Moin,

da explizt nach den Strömen gesucht wird, heißt das Stichwort 
"Maschenstromverfahren". Spannungen und Widerstände werden als bekannt 
vorausgesetzt. Matrix aufstellen, invertieren.
Lösungsansätze finden sich in jedem System- & Netzwerktheoriebuch 
(Küpfmüller, Schüßler, Unbehauen...)

Beste Grüße, Marek

Autor: Gastofatz (Gast)
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>Was meint ihr dazu stimmt das soweit?

Ich meine, dass das keine gute Note verdient.

- Jede Gleichung gehört zu einem ganz bestimmten Knoten oder eine ganz 
bestimmte Masche. Es ist, denke ich, sinnvoll, diese Info vor jede 
Gleichung zu schreiben: Knoten A: ..., Knoten B: ..., Masche ACDA: ...
Du läst ja auch nicht Deine Programme unkommentiert.

- I_1 + I_3 - I    = 0
  I_2 + I_4 - I    = 0
ist inkonsequent. Vom Knoten A fließt I weg, zum Knoten B hin. Warum 
verrechnest Du I dann beidemal mit "-"?

- Du hast die optimale Wahl der Maschen nicht erkannt.

- Wenn Du 4 Knoten- und 4 Maschengleichungen hinschreibst, könnte man 
Dich verdächtigen, nicht verstanden zu haben, dass dieses Netzwerk (6 
Zweige, 4 Knoten) mit genau 3 Knoten- und 3 Maschengleichungen 
vollständig beschrieben ist.

- Wie kommst Du auf gerade 4 Maschengleichungen? Es gibt keine "Anzahl 
von Maschen"! Eindeutig ist immer nur die Anzahl der Knoten und die 
Anzahl der Zweige.

- Dein Gleichungssystem besteht aus 8 Gleichungen für 13 Unbekannte (U1, 
U2, U3, U4, UA, UI, UQ, I1, I2, I3, I4, I, IA). Es fehlen also 5 
Gleichungen. (Du hast die Maschengleichungen doch oben schon schön mit 
R1 I1, R2 I2 geschrieben?)

Geh die Punkte mal durch.

Autor: Manuel (Gast)
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Gastofatz schrieb:
> - Du hast die optimale Wahl der Maschen nicht erkannt.

Das ist wohl wahr. Ich habe mir das Schaltbild nun einmal als Tetraeder 
vorgestellt - für mich sind die Maschen jetzt deutlicher zu erkennen. 
Allerdings weiß ich nicht sicher wie und warum ich jetzt die einzelnen 
Teilspannungen positiv oder negativ werte. Besonders die Quelle.

(Ich stehe in der Mitte der Masche, drehe mich um mich selbst und halte 
die Kabel meines imaginären Spannungsmesser immer vor und nach ein 
Element?!? - Drehrichtung egal?)


Eingehende Stöme immer positiv:
A:  I_1 + I_3 - I    = 0
B: -I_2 - I_4 + I    = 0
C: -I_1 + I_2 - I_A  = 0
D:  I_4 - I_3 + I_A  = 0


ABCA:  U_1 + U_2 + U_i  = U_q
BDCB: -U_2 + U_4 - U_A  = 0
ACDA: -U_1 + U_3 + U_A  = 0
ADBA: -U_3 - U_4 - U_i  = -U_Q  ODER
ADBA:  U_3 + U_4 + U_i  = U_Q

Gastofatz schrieb:
>Insgesamt musst Du am Schluß ja 6 Gleichungen für 6 Unbekannte haben,
>nämlich die Ströme in den 6 Zweigen. Dann bist Du auch schon fertig mit
>der Aufgabe.
und
>- Dein Gleichungssystem besteht aus 8 Gleichungen für 13 Unbekannte (U1,
>U2, U3, U4, UA, UI, UQ, I1, I2, I3, I4, I, IA). Es fehlen also 5
>Gleichungen.


Ich bin äußerst verwirrt ;-D

Autor: Manuel (Gast)
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Jetzt geht auch die Addition jeweils 3er Gleichungen die die 4t3 
ergeeben sollen auf ;-D

Autor: Gastofatz (Gast)
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>Ich habe mir das Schaltbild nun einmal als Tetraeder vorgestellt

:-) Ja, dieses Netzwerk hat tatsächlich eine tetraedrische Topologie. 
Aber eigentlich ist der Weg eher umgekehrt: In 3D gegebene Netzwerke (es 
gab da z. B. mal ne Rätselaufgabe mit nem Fußball, der an jeder Kante 
nen Widerstand hatte) macht man immer erstmal platt, weil man sich in 2D 
leichter tut.

>Allerdings weiß ich nicht sicher wie und warum ich jetzt die einzelnen
>Teilspannungen positiv oder negativ werte. Besonders die Quelle.

Das ist ein wichtiger Punkt. Bei jedem Widerstand, den Du durchläufst, 
befindest Du Dich hinterher entweder auf einem positiveren oder einem 
negativeren Potential, je nach der Richtung des zugehörigen Strompfeils. 
Bei einer Spannungsquelle analog, aber hier kommt es nicht (!) auf den 
Strompfeil an, sondern auf den Spannungspfeil an der Quelle. Wenn Du 
Dich hinterher auf einem positiveren [negativeren] Potential befindest, 
verrechnest Du es mit "+" ["-"]. Das ist dann der Fall, wenn Du das 
Element gegen die Pfeilrichtung [in Pfeilrichtung] durchläufst.

Die korrekte Maschengleichung für die Masche ADBA lautet somit

    R3 I3 + R4 I4 - Uq + Ri I = 0

beziehungsweise

    R3 I3 + R4 I4 + Ri I = Uq

denn Uq ist ja bekannt und gehört deshalb auf die rechte Seite 
("Inhomogenität des Gleichungssystems").

>Ich stehe in der Mitte der Masche, drehe mich um mich selbst und halte
>die Kabel meines imaginären Spannungsmesser immer vor und nach ein
>Element?!? - Drehrichtung egal?

Du fängst an irgendeinem Punkt X an und nimmst irgendeinen Weg durch das 
Netzwerk, der Dich zu X zurückführt. Jeder geschlossene Weg (beliebiger 
Komplexität) ist "eine Masche". Die Drehrichtung ist egal. "Andersrum" 
<==> Multiplikation der Maschengleichung mit -1.

>A:  I_1 + I_3 - I    = 0
>B: -I_2 - I_4 + I    = 0
>C: -I_1 + I_2 - I_A  = 0
>D:  I_4 - I_3 + I_A  = 0

Perfekt. (Wenn Du alle vier rechten Seiten aufaddierst, kommt natürlich 
Null heraus. Also muss auch die Addition aller vier linken Seiten Null 
ergeben. Stimmts?)

ABCA:  U_1 + U_2 + U_i  = U_q
BDCB: -U_2 + U_4 - U_A  = 0
ACDA: -U_1 + U_3 + U_A  = 0

Nochmal: 3 Knoten- und 3 Maschengleichungen reichen. Weitere Knoten- und 
Maschengleichungen sind linear abhängig und damit überflüssig. 
Preisfrage: Wieviele Knoten- und Maschengleichungen wären für ein 
Netzwerk mit 30 Knoten und 100 Zweigen aufzustellen? [*]

>Ich bin äußerst verwirrt ;-D

In Deiner Aufgabe ist (mutmaßlich) gegeben und gesucht:
Gegeben: R1, R2, R3, R4, Ri, RA und Uq
Gesucht: I1, I2, I3, I4, IA, I

Solange in Deinem Lösungsansatz nun nicht irgendwie die Widerstände R1, 
R2... auftauchen, ist er eigentlich nicht komplett.

In der Kompaktfassung hast Du einfach 6 Gleichungen für die 6 
unbekannten Ströme:

Knoten A   :   I1 + I3 - I  = 0
Knoten B   :  -I2 - I4 + I  = 0
Knoten C   :  -I2 + I2 - IA = 0
Masche ACDA:   R1 I1 - RA IA - R3 I3 = 0
Masche BCDB:  -R2 I2 - RA IA + R4 I4 = 0
Masche ADBA:   R3 I3 + R4 I4 + Ri I  = Uq

(Noch schöner siehts als Matrix mal Vektor = Vektor aus.)

Wenn Du es aber unbedingt mit den doofen Spannungen U1, U2... 
formulieren willst, kannst Du das natürlich tun. Dann betrachtest Du als 
gesucht I1, I2, I3, I4, IA, I, U1, U2, U3, U4, Ui, UA und musst 12 
Gleichungen für diese 12 Unbekannten aufstellen. Wie lauten die 
fehlenden sechs Gleichungen?

------------------------
[*] Genau 29 Knoten- und 71 Maschengleichungen.

Autor: Manuel (Gast)
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Nönö die U_x habe ich nur gewählt um mir die Schreibarbeit etwas zu 
erleichtern. Somit bin nun der (einfachen) Netzwerk-Analyse mächtig. Ich 
bedanke mich ganz herzlich bei allen und ganz besonders bei Gastofatz, 
der sich richtig viel Zeit genommen hat mir zu helfen, für die 
Hilfestellung, Lösungsansätze und Erklärung des genannten Problems. Ein 
gloreicher Thread und der Gegenbeweis für den vermeintlichen Untergang 
des Niveaus von µC.net.

Viele Grüße

Manuel Schneider

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