Suche Lösung durch Bewegungsgleichung nicht durch Energieansatz

[Test T. (meinbenutzeraccount)]

Hallo,

Ein Körper der Masse m befindet sich am Ort x=0 und wird beschleunigt. 
Die Beschleunigung ist örtlich unterschiedlich und kann im Bereich 
zwischen x=0 und x=4 durch die Gleichung a(x)=-5*x+20 beschrieben 
werden.
Wie schnell bewegt sich der Körper nach 20m?

Ich habe die Aufgabe mit dem Energieansatz gelöst:

$$W = m \cdot \int_{0}^{20} a(x) dx = 0,5 \cdot m \cdot v^2$$

Nun meine Frage:
Kann man das ganze auch nur mit Bewegungsgleichungen lösen?


Mark

[Daniel -. (root)]

V=int(dv)=int(dv/dt*dt)=int(a*dt)=int(a(x)*dt)

mit dx=v*dt=>dt=dx/v

V(x)=int(a(x)*dx/V(x))

wird rekursiv ...

[Test T. (meinbenutzeraccount)]

Mh:
Das Problem ist doch, dass man das dt in
V==int( a(x)*dt ) erstmal kennt.

Es wird vorgeschlagen
dt = dx/v(x) auszudrücken.

v(x) ist jedoch eben nicht bekannt. Mit der Formel könnte man höchstens 
Schätzungen vornehmen, indem man, wie gesagt, dass ganze als Rekursion 
aufasst.
Ich suche dagegen eine Möglichkeit, dass ganze genau zu bestimmen.

[Purzel H. (hacky)]

Weshalb sollte ein rekursiver Ansatz nicht genau sein ? Wie genau soll's 
den sein, 20 signifikante Stellen ?

[Test T. (meinbenutzeraccount)]

Es geht darum mit einer einzigen Rechnung das Ergebnis zu erhalten.

[Matthias L. (Gast)]

Was bedeutet denn:
>Bereich zwischen x=0 und x=4 durch die Gleichung a(x)=-5*x+20 beschrieben
?

Ist das x eine Angabe in Metern? Und ist x=20(m) die Position, an der 
die Geschw. errechnet werden soll?


>befindet sich am Ort x=0

Ruht er dort, bevor die Beschleunigung von 20 (welche Einheit???) 
einsetzt?

[Matthias L. (Gast)]

Hm, ich hab mal ein bischen überlegt.

Ich denke, das Problem lässt sich auch eine DGL 2.Ordnung zurückführen:

         .-----.              .-----.              .-----.
    s(t) |20-5s|  a(t)=s"(t)  |     |  v(t)=s'(t)  |     |  s(t)
   .---->|     |------------->| Idt |------------->| Idt |--o----->
   |     |     |              |     |              |     |  |
   |     '-----'              '-----'              '-----'  |
   |      Idt: Integral über die Zeit                       |
   '--------------------------------------------------------'

Es gilt:

s"(t)        = a( s(t) )

s"(t)        = 20 - 5s(t)      | Integration über t

s'(t) = v(t) = 20t - (5/2)st   | Konst. v0 weggelassen, da v0=0 sei.
                               | Integration über t

s (t) =      = 10t² -(5/4)st²  | Konst. s0 weggelassen, da s0=0 sei.

nach t umgestellt:        (Zusatz) nach s umgestellt:
         4s                    40t²
 t² = --------            s = -------
       400-5s                  4+5t²

Da davon ausgegangen wird, dass die Beschleunigung bei s=4 auf Null 
geht, und Null bleibt, interessiert nur die Zeit bis s=4. Es folgt also 
mit s=4:
        4
 t² = ----
       95

Diese Zeit wird in s'(t)=v(t) eingesetzt:

v(t) = 20t - (5/2)st

v(t) = t [ 20 - (5/2)s ]

     = SQRT(4/95) [ 20 - (5/2)4 ]

     = SQRT(4/95) * 10

v(t=4)=  ~2,052 m/sek

Hm.. Könnte ja stimmen...

[Daniel -. (root)]

warum gefällt dir deine Rechnung nicht? Du kommst doch auf v(x).

integral{0,x}von{m*a(x)*dx}=0.5*m*v(x)^2
führt auf
v(x)=sqrt(2*integral{0,x}von{a(x)*dx})

mein Ansatz führt auf

v(x)=integral{0,x}{a(x)/v(x)*dx}

wenn man das ableitet kommt raus ...

dv/dx*v(x)=a(x)

wenn man die oben berechnete explizite Form nimmt und in v' und v
substituiert, bringt es auf die Identität a(x)=a(x).

Grüsse

[Tobias O. (tobey)]

Wenn man davon ausgeht, dass die Beschleunigung nach x=4s nur noch 0 
m/s^2 beträgt, muss man ja nur die ersten vier Sekunden lang integrieren 
und festlegen, dass sich die Geschwindigkeit danach nicht mehr 
verändert, also

v = int(-5 * x + 20, x, 0, 4) = 40

[Matthias L. (Gast)]

>...dass die Beschleunigung nach x=4s nur noch 0 m/s^2 beträgt...

Hm.. Naja, ich hab die Aufgabe so verstanden, dass die Beschleunigung 
nach vier Metern und nicht nach vier Sekunden auf Null gesunken ist...

[Sven P. (Gast)]

Tobias O. schrieb:
> Wenn man davon ausgeht, dass die Beschleunigung nach x=4s nur noch 0
> m/s^2 beträgt, muss man ja nur die ersten vier Sekunden lang integrieren
> und festlegen, dass sich die Geschwindigkeit danach nicht mehr
> verändert, also [...]
Bin ich auch grad drüber gestolpert.
Dein Ansatz hinkt aber hier:
- x wird übblicherweise die Strecke, nicht die Zeit sein
- die Beschleunigung wird in Abhängigkeit von der Zeit ausgedrückt

Daher wirds wohl auf DGL herauslaufen.