Mittelung, Zunahme der std-Abweichung um sqrt(n)

[Daniel -. (root)]

Auszug aus

http://de.wikipedia.org/wiki/Signal-Rausch-Verh%C3%A4ltnis

"""
 Mittelung [Bearbeiten]

Durch mehrfaches Senden einer Information lässt sich das Rauschen 
reduzieren. Da Rauschen stochastisch auftritt, wächst die 
Standardabweichung des Rauschsignals bei Summation von n Übertragungen 
nur um den Faktor \sqrt{n}, während das Signal um den Faktor n zunimmt
"""

Kennt jemand eine Quelle mit einer formelmässigen Herleitung dafür?
Das das Signal um den Faktor n zunimmt ist klar. Aber wie zeige ich,
dass die Std.Abweichung des Rauschens um den Faktor sqrt(n) zunimmt?

Danke

[Michael (Gast)]

Sei X_i die i-te Realisierung des Rauschprozesses mit gleicher Varianz

$$\sigma^2$$

. Wir addieren N Samples  und berechnen die Varianz (Rauschleistung):

$$P=E( (X_1 + ... + X_N)(X_1 + ... + X_N) )$$

Ausmultiplizieren ergibt:

$$P = E\left( \sum_{{k=1}}^N X_k X_k + \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{l={k+1}}^N X_k X_l \right)$$

Die Kreuzterme sind Null (Anforderung an das Rauschen, dass die Samples 
unkorreliert sind), es bleibt daher

$$P = E\left( \sum_{{k=1}}^N X_k X_k \right) = N E(X_1 X_1) = N \sigma^2$$

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.

Das ganze gilt also nur unter Bedingungen für das Rauschen, was man aber 
üblicherweise annimmt und in der Regel auch stimmt...

[Daniel -. (root)]

Hallo Michael,

Danke für Deinen Beitrag

ich kenne als Formel für die Varianzberechung diese hier

$$\mu=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}x_k$$

$$var=\sigma^2=\frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N}(x_k-\mu)^2$$

ist das equivalent zur Deinen ersten Formel?

>Die Kreuzterme sind Null (Anforderung an das Rauschen, dass die Samples
>unkorreliert sind), es bleibt daher
muss das Rauschsignal nicht auch mittelwertfrei sein?

[Michael (Gast)]

Hallo Daniel,

> ich kenne als Formel für die Varianzberechung diese hier
> ist das equivalent zur Deinen ersten Formel?

Mathematisch gesehen nicht - meine Formel ist die Berechnung (eigentlich 
der Leistung, nicht der Varianz, wegen dem mittelwertfrei, siehe unten) 
mit dem Erwartungswertoperator, deine Formel ist die Schätzung der 
Varianz und des Erwartungswerts für beobachtete Messwerte. Die Formeln 
sehen sich zwar ähnlich, aber es sind verschiedene Dinge.

>>Die Kreuzterme sind Null (Anforderung an das Rauschen, dass die Samples
>>unkorreliert sind), es bleibt daher
> muss das Rauschsignal nicht auch mittelwertfrei sein?

Ja, das gehört auch zu den Annahmen (sonst hätte ich den Erwartungswert 
abziehen müssen).

Falls dir Englisch liegt, die englische Wikipedia ist recht informativ:
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance
Vielleicht ist das verständlicher als mein Geschriebsel :-)

Grüße Michael