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Forum: Mikrocontroller und Digitale Elektronik Funktionsgleichung zweier sich schneidener Halbkreise


Autor: Patti (Gast)
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Hallo,
ich bin ein wenig am verzweifeln. Ich habe 2 Halbkreise. Diese sind mit 
einem Festen Abstand zueinander. Je größer deren Radien werden schneiden 
sich dei beiden in einem Punkt auf den Halbkreisen.

Wie kann ich den Punkt umschreiben?
f(x) = sqrt(r² - x²)

VG,
Patti

Autor: g457 (Gast)
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> Je größer deren Radien werden schneiden sich dei beiden in einem Punkt
> auf den Halbkreisen.

..oder in zweien.

> Wie kann ich den Punkt umschreiben?

Geometrie der Ebene? Kreisgleichungen aufstellen, auflösen 
(Fallunterscheidung nicht vergessen), klücklich sein.

HTH

P.S.: Für mehr Details musst Du erst mehr Details liefern.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Patti schrieb:
> Hallo,
> ich bin ein wenig am verzweifeln. Ich habe 2 Halbkreise. Diese sind mit
> einem Festen Abstand zueinander. Je größer deren Radien werden schneiden
> sich dei beiden in einem Punkt auf den Halbkreisen.
>
> Wie kann ich den Punkt umschreiben?
> f(x) = sqrt(r² - x²)

ist schon mal ein Anfang.

Was weißt du noch über die Halbkreise? Können die zueinander verdreht 
sein. Gibt es eine fixe Lagebeziehung (zb. die Mittelpunkte liegen beide 
auf derselben Y-Achse)?

Ansonsten kannst du natürlich erst mal 2 Vollkreise schneiden.
Den einen Kreis legst du erst mal in den 0-Punkt des Koordinatensystems, 
damit seine Gleichung einfacher wird. (Die Ergebnispunkte nicht 
vergessen zurückzutransformieren)

Der 1. Kreis hat daher die Gleichung

    x^2  +  y^2   - r1^2  = 0

Der 2. Kreis hat die Gleichung

    (x - xm)^2  +  (y - ym)^2  - r2^2  = 0

(xm und ym sind die transformierten Mittelpunktskoordinaten des 2ten 
Kreises)

Da du die Schnittpunkte suchst, muss es mindestens 1 Punkt x,y geben, 
für den beide Kreisgleichungen erfüllt sind.

-> in der einen Gleichung zb das y als Funktion vom Rest ausdrücken und 
in die andere Gleichung einsetzen. Übrig bleibt dann eine Gleichung mit 
einer Variablen (nämlich x) und die kann man lösen.

(Da wir wissen, dass es 2 derartige Schnittpunkte gibt, läuft es auf das 
Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus).

Hast du x, dann kannst du mit der y-Formel, die du bereits hergeleitet 
hast, auch das y berechnen.

Damit kennst du die 2 Schnittpunkte 2-er Vollkreise und musst nur noch 
klassifizieren, welche Schnittpunkte gültig sind, da sie auch auf dem 
Halbkreis liegen. Wie du das machst, musst du entscheiden. Das hängt im 
wesentlichen davon ab, wie du Halbkreise darstellst.


Edit: Wenn ich im obigen von der Anzahl der Schnittpunkte spreche, dann 
natürlich immer unter der Voraussetzung, dass es überhaupt welche gibt. 
Ob es welche gibt lässt sich leicht entscheiden: Wenn in der pq 
Lösungsformel für die quadratische Gleichung der Ausdruck unter der 
Wurzel negativ ist, dann gibt es nur eine imaginäre Lösung und damit 
keine reellen Schnittpunkte. Ist der Ausdruck 0, dann gibt es 2 
Lösungen, die allerdings zusammenfallen (d.h. die Kreise berühren sich) 
und ansonsten gibt es 2 reelle Schnittpunkte.

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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erster Kreis:
(x1-x10)² + (y1-y10)² = R1²

zweiter Kreis:
(x1-x20)² + (y1-y20)² = R2²


mit
X10, Y10, R1   : Mittelpunkt & Radius des ersten Kreises,
X20, Y20, R2   : Mittelpunkt & Radius des zweiten Kreises.

x1, y1         : Schnittpunkt(e) der Kreise.


Lös einfach das Gleichungssystem und fertich.

Autor: Läubi .. (laeubi) Benutzerseite
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g457 schrieb:
>> Je größer deren Radien werden schneiden sich dei beiden in einem Punkt
>> auf den Halbkreisen.
>
> ..oder in zweien.

... oder in unendlich vielen wenn m1 = m2 und r1 = r2 ...
;)

Karl heinz Buchegger  schrieb:
> Ist der Ausdruck 0, dann gibt es 2
> Lösungen, die allerdings zusammenfallen (d.h. die Kreise berühren sich)
> und ansonsten gibt es 2 reelle Schnittpunkte
Oder mehr: s.o. :)

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Läubi .. schrieb:
> g457 schrieb:
>>> Je größer deren Radien werden schneiden sich dei beiden in einem Punkt
>>> auf den Halbkreisen.
>>
>> ..oder in zweien.
>
> ... oder in unendlich vielen wenn m1 = m2 und r1 = r2 ...
> ;)
>
> Karl heinz Buchegger  schrieb:
>> Ist der Ausdruck 0, dann gibt es 2
>> Lösungen, die allerdings zusammenfallen (d.h. die Kreise berühren sich)
>> und ansonsten gibt es 2 reelle Schnittpunkte
> Oder mehr: s.o. :)

Na ja.
Der Fall ist ein bischen trivial.
Jede Figur hat mit sich selbst geschnitten unendlich viele 
Schnittpunkte.
Ich müsste mir jetzt selbst schnell die Formel herleiten, bin mir aber 
ziemlich sicher, dass dieser Fall irgendwo in den Formeln als eine 
Division durch 0 auftauchen wird.

In der Geometrie ist es oft so, dass ungültige Fälle zu Divisionen durch 
0 oder Wurzeln aus negativen Zahlen oder sonst einer mathematisch 
ungültigen Operation ausarten, woran man sie gut erkennen kann.

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> In der Geometrie ist es oft so, dass ungültige Fälle zu Divisionen durch
> 0 oder Wurzeln aus negativen Zahlen oder sonst einer mathematisch
> ungültigen Operation ausarten, woran man sie gut erkennen kann.

Oder die Lösung beinhaltet einen Parameter (Zum Beispiel bei der 
Schnittgerade bei zwei Ebenen im 3D Raum. Da gibt es streng genommen 
auch unendlich Schnittpunkte).

Aber Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht zwangsläufig mathematisch 
ungültig :-) Aber du hast schon Recht. Bei der Geometrie sind Wurzeln 
aus negativen Zahlen so gut wie immer unbrauchbare Ergebnisse (da nicht 
reell).

Autor: Walter (Gast)
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>Ich müsste mir jetzt selbst schnell die Formel herleiten, bin mir aber
>ziemlich sicher, dass dieser Fall irgendwo in den Formeln als eine
>Division durch 0 auftauchen wird.


 (x-x10)² + (y-y10)² = R1²

bei zwei identischen Kreisen ist einfach obige Gleichung die Lösung.
Die erkennt man aber nicht durch eine 0 im Nenner oder unter der Wurzel,

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Walter schrieb:
>>Ich müsste mir jetzt selbst schnell die Formel herleiten, bin mir aber
>>ziemlich sicher, dass dieser Fall irgendwo in den Formeln als eine
>>Division durch 0 auftauchen wird.
>
>
>  (x-x10)² + (y-y10)² = R1²
>
> bei zwei identischen Kreisen ist einfach obige Gleichung die Lösung.
> Die erkennt man aber nicht durch eine 0 im Nenner oder unter der Wurzel,

Nein aber die Lösung besitzt (einen oder mehrere) Parameter, wie ich 
einem Post über deinem gesagt habe.

-> Unendlich viele Lösungen.

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