Übertragungsfunktion einer Schaltung

[BiPa (Gast)]

Hallo,

manchmal ist man von der Informationsflut überschwemmt und bekommt 
plötzlich nichts mehr auf die Kette.

Kann mir jemand sagen, ob die Übertragungsfunktion der angehängten 
Schaltung so zu konstruieren ist?

Der erste Teil als PT1 und der zweite als Konstante, das Ergebnis ist 
das Produkt.(?)

Danke!

[Armin (Gast)]

theoretisch könnte das sein,

die Gefahr besteht allerdings, dass aus dem PT1-Glied ein Teil des Strom 
herausfließt, was beim idealen PT1-Glied nicht der Fall ist. Dann musst 
du das ganze Netz über DGLs lösen.

Dein Ansatz funktioniert also nur, wenn R2 und R3 so groß sind, dass der 
Großteil des Stromes durch den Kondensator fließt. Ich würd auch sagen: 
Die Güte der Näherung ist Frequenzabhängig, denn bei niedrigen 
Frequenzen fließt nur wenig Strom durch den Kondensator, weil er voll 
ist.

Mach lieber daraus eine:
Serienschaltung von R1 mit einer
Parallelschaltung von C und (R2+R3)
damit kannst du die Kondensatorspannung sauber ausrechnen, und dann am 
Schluss den Spannungsteiler ansetzen.

[Helmut S. (helmuts)]

> Kann mir jemand sagen, ob die Übertragungsfunktion der angehängten
> Schaltung so zu konstruieren ist?


Im Prinzip schon, nur sind alle deine Faktoren falsch.
Mehr wird erstamal nicht verraten.

[Bernhard R. (barnyhh)]

Nein, die beiden Teile sind nicht voneinander entkoppelt.

Bernhard

[Armin (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> Im Prinzip schon, nur sind alle deine Faktoren falsch.
> Mehr wird erstamal nicht verraten

ich seh keine falschen Faktoren, sorry.
nur der Ansatz mit der Multiplikation ist gewagt.

[BiPa (Gast)]

Danke für eure Hinweise.

Das war so eine spontane "Eingebung" :-D , weil bei einem 
Übertragungssystem 2. Ordnung ja auch einfach zwei RC-Glieder 
nacheinander geschaltet werden und anschließend multipliziert.

Ich versuche mal was über DGL zu stricken.

[Armin (Gast)]

"Zwei zusammengeschaltete Tiefpässe mit gleicher Grenzfrequenz ergeben 
aber keinen Tiefpass höherer Ordnung derselben Grenzfrequenz. Für die 
Dimensionierung eines Tiefpasses mit gewünschter Grenzfrequenz stehen 
spezielle Formeln und Tabellen zur Verfügung.

Zusätzlich tritt das Problem auf, dass ein Tiefpass in einer Kette vom 
Ausgangswiderstand des vorgeschalteten und dem Eingangswiderstand des 
nachgeschalteten Tiefpasses beeinflusst wird. Diesem Effekt kann mit 
Impedanzwandlern entgegengewirkt werden."


--> http://de.wikipedia.org/wiki/Tiefpass#Tiefpass_n-ter_Ordnung

[Matthias L. (Gast)]

>Kann mir jemand sagen, ob die Übertragungsfunktion der angehängten
>Schaltung so zu konstruieren ist?

falls ich mich nicht verrecnet habe:

           R3                    1
G(s) = ----------- * --------------------------------
        R1+R2+R3           R1 [ R2+R3 ]
                      1 + -------------- C s
                           R1 + R2 + R3

Die Zeitkonstante entsteht also durch die Parallelschaltung von R1 und 
(R2+R3).

[Armin (Gast)]

kann ich bestätigen.

         R3              1
G(s) = ----- *------------------------
       R2+R3  R1*C*s+(R1+R2+R3)/(R2+R3)

ist gleichbedeutend.

[BiPa (Gast)]

Mit der Knotenanalyse habe ich es auch raus bekommen.


         R3                     1
G(s)=  -------   *   ----------------------
        R2+R3                R1
                        1+ ------  + R1Cs
                            R2+R3

Besten Dank an euch!

[Simon K. (simon)]

Hmm..

Was ist bei mir falsch?

$$u_{R1}+u_c=u_{ein}$$

$$R_1*(i_c+\frac{u_c}{R_2+R_3})+u_c=u_{ein}$$

$$R_1*C*\frac{\partial u_c}{\partial t}+\frac{R_1}{R_2+R_3}*u_c+u_c=u_{ein}$$

$$R_1*C*\frac{\partial u_c}{\partial t}+(\frac{R_1}{R2+R3}+1)*u_c=u_{ein}$$

Nebenrechnung:

$$u_{aus}=u_c*\frac{R_3}{R_2+R_3}$$

$$u_c=u_{aus}*\frac{R_2+R_3}{R3}$$

---

$$R_1*C*\frac{R_2+R_3}{R3}*\frac{\partial u_{aus}}{\partial t}+\frac{R1+R2+R3}{R3}*u_{aus}=u_{ein}$$

Lösen, mit Anfangsbedingung u_aus(0) == 0:

$$u_{aus}(t)=\frac{-1+e^{-\frac{R_1+R_2+R_3}{C*R_1+(R_2+R_3)}t}}{R_1+R_2+R_3}$$

Laplace Transformieren:

$$u_{aus}(s)=\frac{R_3*u_{ein}}{s*(R_1+R_2+R_3+C*R_1(R_2+R_3)*s)}$$

$$G(s)=\frac{u_{aus}}{u_{ein}}=\frac{R_3}{s*(R_1+R_2+R_3+C*R_1(R_2+R_3)*s)}$$

[Armin (Gast)]

der Schritt mit dem "Lösen" ist seltsam.
Nimmst du da eine Sprunganregung? Transformier doch einfach die 
Gleichung drüber mit den Rechenregeln - bis dahin sehe ich auf jeden 
Fall keinen Fehler.

G(s) ist die Transformierte der Impulsantwort.

[BiPa (Gast)]

Du bekommst durch irgendeinen Trick auch eine Gleichung 2. Ordnung, wie 
es im Nenner ausschaut. Das kann auch nicht stimmen.
Ich denke auch der Magic-Lösen-Trick geht schief.

[Simon K. (simon)]

Armin schrieb:
> der Schritt mit dem "Lösen" ist seltsam.
> Nimmst du da eine Sprunganregung? Transformier doch einfach die
> Gleichung drüber mit den Rechenregeln - bis dahin sehe ich auf jeden
> Fall keinen Fehler.
Hm.. Ups. Habe das ganze per DSolve gemacht, eigentlich dumm, da man ja 
wirklich die Gleichung davor schon Laplace-Transformieren kann (und muss 
augenscheinlich).

> G(s) ist die Transformierte der Impulsantwort.
Das würde hinkommen, da ich unten im Nenner ein s mehr habe (Also 
multipliziert mit 1/s).

Ja ja, haben das gerade erst gehabt ;)

[Simon K. (simon)]

Alles klar, hier gehts weiter:

$$R_1*C*\frac{R_2+R_3}{R3}*\frac{\partial u_{aus}}{\partial t}+\frac{R1+R2+R3}{R3}*u_{aus}=u_{ein}$$

Laplace transformieren (u_aus(0)==0)

$$R_1*C*\frac{R_2+R_3}{R3}*s*u_{aus}(s)+\frac{R1+R2+R3}{R3}*u_{aus}(s)=u_{ein}$$

umstellen

$$G(s)=\frac{u_{aus}}{u_{ein}}=\frac{R_3}{R_2+R_3+R_1(1+C(R_2+R_3)s)}$$

[Armin (Gast)]

und das ist das selbe, wie Matthias und ich raus haben.

[Simon K. (simon)]

Jep :-)

[Matthias L. (Gast)]

>und das ist das selbe, wie Matthias und ich raus haben.

...nur meine Formel sieht am Schönsten aus..

;-)

lach

[Armin (Gast)]

bei deiner Lösung sieht man schön, dass es sich immer noch um ein 
PT1-Glied handelt, jap.

Bei der Lösung von BiPa sieht man das, was ich am Anfang gesagt habe 
schön: Wenn R2 und R3 im Vergleich zu R1 richtig groß werden, gilt der 
Ansatz wieder, der von BiPa im ersten Beitrag gepostet wurde. Es fließt 
in etwa kein Strom mehr aus dem Glied raus und deswegen ist es 
entkoppelt und der Spannungsteiler unabhängig davon einfach 
hintendrangeklebt.


Will man R2 und R3 eher klein wählen, braucht man einen Impendanzwandler 
--> wiki

[BiPa (Gast)]

Schön dass das Thema auch andere interessiert!

[Matthias L. (Gast)]

Hier mal meine Rechnung dazu.

[Simon K. (simon)]

So gut wie der gleiche Rechenweg wie bei mir :D

[BiPa (Gast)]

Matthias Lipinsky schrieb:
> Hier mal meine Rechnung dazu.

Das ist echt die schönste Formel! :-D

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Oder so:

Das Ganze ist ein Tiefpass 1. Ordnung, also:

$$G(s)=\frac A {1+\tau s}$$

Der Spannungsteiler aus R1, R2 und R3 bestimmt die DC-Verstärkung:

$$A=\frac {R_3}{R_1+R_2+R_3}$$

Der Innenwiderstand der am Kondensator effektiv anliegenden Signalquelle
ist die Parallelschaltung aus R1 und R2+R3, damit ist die Zeitkonstante

$$\tau=\frac {R_1\cdot(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}\cdot C$$

Eingesetzt in die erste Formel ergibt sich das Ergebnis von Matthias,
Armin und BiPa :)

[Daniel -. (root)]

die besten Rechnungen sind die, die man im Kopf machen kann ;)
thanks Yalu