Dipolpotential

[Dipol (Gast)]

Hallo,

wie berechnet man das Potential eines Dipols anhand des Dipolmomentes? 
Ein Dipol sind ja im Grunde 2 ungleichnamige Ladungen, im Abstand a.

Ich habe mir diese Ladungen auf die x-Achse eines Koordinatensystem 
gelegt. Die positive Ladung befindet sich bei

$$x=-\frac l 2$$

 die positive bei

$$x=\frac l 2$$

Für das Potential einer Punktladung gilt ja:

$$\varphi(\vec r)=\frac m {4\pi \epsilon r l}$$

Jetzt überlagere ich die Potentialfelder beider Punktladungen:

$$\varphi(x,y)=\frac m {4\pi \epsilon l}(\frac{1}{\sqrt{(x+\frac l 2)^2+y^2}}-\frac{1}{\sqrt{(x-\frac l 2)^2+y^2}})$$

Nun weiß ich nicht mehr weiter. Irgendwie muss man das l raus bekommen. 
Das Endergebnis muss:

$$\varphi(\vec r)=\frac{\vec m \cdot \vec r}{4\pi \epsilon \cdot r^3}$$

Weiß einer, wie man das herleitet?

Mfg.

[Galenus ein Reisender (Gast)]

Hallo Dipol,
ich glaube du Schwingst auf einer sehr Theoretischen Frequenz. Aber da 
dir keine Antwort gibt versuch ich es als Praktiker mal mit einem etwas 
anderen Weg der hoffentlich nach Rom führt. Früher gab es nur zwei 
Messgeräte Wheatstonesche Messbrücke und Widerstandsbrücke. Was willst 
du machen. Reine Mathematik oder gib deiner theoretischen Gleichung mal 
Leben und ein Beispiel und dann nimm anhand des Beispiels den Roten 
Faden und später wieder eine Abstraktion zur Theorie. Es ist zwar ein 
Umweg aber machenmal hilt er.

[Purzel H. (hacky)]

mach mal r(vector):=x*X(vector)+y*Y(vector), mit X(vector) & Y(vector) 
die Basis