Periodizität

Du bist schon selbst auf die Lösung gekommen: Das Verhältnis der 
Frequenzen muss eine rationale Zahl sein.

Guten Tag

Die folgende Darstellung kann bestimmt noch kompakter gemacht werden.

Abkürzungen: ω₁ := 2·π·f₁, ω₂ := 2·π·f₂. Definitionen: T₀ = 2·π÷ω₀ 
(gesuchte Grund-Periode), T₁ = 2·π÷ω₁.
Es reicht, die Grund-Periode (bzw. die Grund-Kreisfrequenz ω₀) des 
Signals y(t) = sin(ω₁·t)·cos(ω₂·t) zu untersuchen.
Mit Hilfe des sin()-Additionstheorems kann nach
  y(t) = -½·sin([ω₂-ω₁]·t) +½·sin([ω₁-ω₂]·t) umgeformt werden
(dieser Schritt ist möglicherweise nicht zwingend erforderlich, aber ich 
zog den Beweis auf einer Summe vor).

Es sei ω₂÷ω₁ = p÷q; p ∈ |N⁺, q ∈ |N⁺ (rational, wie Detlev T. 
anmerkte); p und q teilerfremd (d. h. p, q das kleinstmögliche 
Zahlenpaar, welches das gegebene rationale Verhältnis exakt darstellt, 
ansonsten sind p und q zuvor durch deren GGT zu dividieren).
Zusätzlich wird p > q angenommen.

Einsetzen ergibt  y(t) = -½·sin(ω₁·[p÷q-1]·t) +½·sin(ω₁·[1+p÷q]·t)
                       = -½·sin(ω₁·[p-q]·t÷q) +½·sin(ω₁·[q+p]·t÷q).

Behauptung T₀ = q·T₁.
Beweis für die Periodizität:     y(t) = y(t+T₀) (wie Student 
erwähnte)
Einsetzen von q·2·π÷ω₁ für T₀:
y(t+T₀) = -½·sin([p-q]·[ω₁·t+q·2·π÷ω₁]÷q)+½·sin(ω₁·[q+p]·[t+q·2·π÷ω₁]÷q)
        = -½·sin([p-q]·[ω₁·t÷q +2·π])    +½·sin([q+p]·[ω₁·t÷q +2·π])
Weil p±q ∈ |N und wegen der 2·π-Periodizität von sin() folgt die 
Behauptung.
Weil das kleinstmögliche q verwendet wird, ist T₀ die Grund-Periode.

Zusammenfassung Falls ω₂÷ω₁ = a÷b, a, b ∈ |N⁺, a > b, dann ist a÷b = 
p÷q mit p = a÷GCD(a,b) und q = b÷GCD(a,b). Die Grund-Periode ist dann 
T₀ = q·T₁ = q·2·π÷ω₁.

OK, vermutlich kann die Forderung p > q verworfen werden.
Schönen Abend!