Periodizität

[Student (Gast)]

Hi Leute,
mal ne Frage an die Signalverarbeiter...
Ich habe hier eine Übungsaufgabe, bin mir aber bei der Lösung 
unsicher....

Signal: x(t)=(1+alpha*sin(2pi*f1*t))*cos(2pi*f2*t)
0<alpha<1

Ist unter einer bestimmten Bedingung periodisch, welche?

Ich dachte mir:
x(t+T)=(1+alpha*sin(2pi*f1*t+2pi*f1*T))*cos(2pi*f2*t+2pi*f1*T)

Dann:
2pi*f1*T=n1*2pi und 2pi*f2*T=n2*2pi

Nach T auflösen:
T=n1/f1 und T=n2/f2

Einsetzen und umstellen:
f1/f2=n1/n2  -> ein ganzzahliges Verhältnis wird benötigt

Ist das richtig? Bin mir iwie unsicher...

Weiterhin gilt:
f2=5*f1/2

Primitive Periode?
Mache ich das wie oben, mit dem eingesetzten f2 und dann wieder über das 
Verhältnis, oder wie kann ich die primitive Periode von dem Signal 
bestimmen?


Wäre dankbar für einen Denkanstoss

[Student (Gast)]

EDIT:

n1, n2 sind natürliche Zahlen

[Detlev T. (detlevt)]

Du bist schon selbst auf die Lösung gekommen: Das Verhältnis der 
Frequenzen muss eine rationale Zahl sein.

[Student (Gast)]

Aber wie sieht es mit der primitiven Periode aus?

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Guten Tag

Die folgende Darstellung kann bestimmt noch kompakter gemacht werden.

Abkürzungen: ω₁ := 2·π·f₁, ω₂ := 2·π·f₂. Definitionen: T₀ = 2·π÷ω₀ 
(gesuchte Grund-Periode), T₁ = 2·π÷ω₁.
Es reicht, die Grund-Periode (bzw. die Grund-Kreisfrequenz ω₀) des 
Signals y(t) = sin(ω₁·t)·cos(ω₂·t) zu untersuchen.
Mit Hilfe des sin()-Additionstheorems kann nach
  y(t) = -½·sin([ω₂-ω₁]·t) +½·sin([ω₁-ω₂]·t) umgeformt werden
(dieser Schritt ist möglicherweise nicht zwingend erforderlich, aber ich 
zog den Beweis auf einer Summe vor).

Es sei ω₂÷ω₁ = p÷q; p ∈ |N⁺, q ∈ |N⁺ (rational, wie Detlev T. 
anmerkte); p und q teilerfremd (d. h. p, q das kleinstmögliche 
Zahlenpaar, welches das gegebene rationale Verhältnis exakt darstellt, 
ansonsten sind p und q zuvor durch deren GGT zu dividieren).
Zusätzlich wird p > q angenommen.

Einsetzen ergibt  y(t) = -½·sin(ω₁·[p÷q-1]·t) +½·sin(ω₁·[1+p÷q]·t)
                       = -½·sin(ω₁·[p-q]·t÷q) +½·sin(ω₁·[q+p]·t÷q).

Behauptung T₀ = q·T₁.
Beweis für die Periodizität:     y(t) = y(t+T₀) (wie Student 
erwähnte)
Einsetzen von q·2·π÷ω₁ für T₀:
y(t+T₀) = -½·sin([p-q]·[ω₁·t+q·2·π÷ω₁]÷q)+½·sin(ω₁·[q+p]·[t+q·2·π÷ω₁]÷q)
        = -½·sin([p-q]·[ω₁·t÷q +2·π])    +½·sin([q+p]·[ω₁·t÷q +2·π])
Weil p±q ∈ |N und wegen der 2·π-Periodizität von sin() folgt die 
Behauptung.
Weil das kleinstmögliche q verwendet wird, ist T₀ die Grund-Periode.

Zusammenfassung Falls ω₂÷ω₁ = a÷b, a, b ∈ |N⁺, a > b, dann ist a÷b = 
p÷q mit p = a÷GCD(a,b) und q = b÷GCD(a,b). Die Grund-Periode ist dann 
T₀ = q·T₁ = q·2·π÷ω₁.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

OK, vermutlich kann die Forderung p > q verworfen werden.
Schönen Abend!