Zero-Order-Hold und Z-Transformation

Ich war eben mit der selben Problematik konfrontiert. Ich glaube die 
Lösung gefunden zu haben. Auch wenn der Thread schon alt ist poste ich 
das jetzt hier einfach mal, vielleicht bringt es ja jemanden weiter:

Ich habe die folgende Formel auf 
https://de.wikipedia.org/wiki/Sample-and-Hold-Schaltung gefunden, die 
auf den ersten Blick funktioniert:

$$G_{h}(z)=(1-z^{{-1}})\cdot Z\left\{{\frac {G(s)}{s}}\right\}$$

Hierbei muss man aufpassen, dass man den Term

$$\frac{G(s)}{s}$$

 nicht in Faktoren aufteilt, die einzeln Transformiert und das ganze in 
der Z-Welt wieder zusammenmultipliziert. Man darf höchstens konstante 
Parameter ausmultiplizieren, aber keine Terme mit s.
Das das nicht zulässig ist erkennt man schon daran, dass

$$\mathcal{Z}\{ \frac{1}{s^2} \} = \mathcal{Z}\{ \frac{1}{s} \} \cdot \mathcal{Z}\{ \frac{1}{s} \} = (\frac{1}{1-z^{-1}})\cot(\frac{1}{1-z^{-1}}) = \frac{1}{(1-z^{-1})^2}$$

nicht zum selben Ergebnis führt wie

$$\mathcal{Z}\{ \frac{1}{s^2} \} = \frac{Tz^{-1}}{(1-z^{-1})^2}.$$

Die erste Vorgehensweise ist falsch, die zweite richtig.

Für dein Beispiel bedeutet das also:

$$H(s) = \frac{a}{s^2+bs} = \frac{a}{s(s+b)}; \; a=70; \; b=134$$

$$G_{h}(z)=(1-z^{{-1}}) Z\left\{{\frac{a}{s^2(s+b)}}\right\} = (1-z^{{-1}})\cdot Z\left\{{\frac{a}{b^2}\frac{b^2}{s^2\cdot(s+b)}}\right\}$$

Aus Transformationstabelle:

$$\mathcal{Z}\{\frac{a^2}{s^2(s+a)}\} = \frac{[(aT-1+e^{-aT})+(1-e^{-aT}-aTe^{-aT})z^{-1}]z^{-1}}{(1-z^{-1})^2(1-e^{-aT}z^{-1})}$$

Also:

$$G_{h}(z)=(1-z^{{-1}}) Z\left\{{\frac{a}{s^2(s+b)}}\right\} = (1-z^{{-1}})\frac{a}{b^2} \frac{[(bT-1+e^{-bT})+(1-e^{-bT}-bTe^{-bT})z^{-1}]z^{-1}}{(1-z^{-1})^2(1-e^{-bT}z^{-1})} =$$

$$\frac{a}{b^2} \frac{[(bT-1+e^{-bT})+(1-e^{-bT}-bTe^{-bT})z^{-1}]z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-bT}z^{-1})} = \frac{[\frac{a}{b^2}(bT-1+e^{-bT})]z^{-1}+[\frac{a}{b^2}(1-e^{-bT}-bTe^{-bT})]z^{-2}}{1-(1+e^{-bT})z^{-1}+e^{-bT}z^{-2}} =$$

$$\frac{3.3488\cdot 10^{-5}\cdot z^{-1}+3.2025\cdot 10^{-5}\cdot z^{-2}}{1+1.8746\cdot z^{-1}+0.8746\cdot z^{-2}} = \frac{3.3488\cdot 10^{-5}z+3.2025 10^{-5}}{z^2+1.8746\cdot z+0.8746}$$

Tadaaaa ;)