Dringende Frage zu Reglerstabilität!

[Alexander L. (lippi2000)]

Hi,

ich habe folgendes Reglersystem:

               .........      ............           ......
xe(t)--->O--->|PI-Regler|--->|Regelstrecke|--v(t)-->| f(x) |------>xa(t)
         |     ---------      ------------           ------    |
         |                     .........                       |
          --------------------|Messglied|<---------------------
                               ---------

Das Messglied und die Regelstrecke ist jeweils ein LTI-System 2.Ordnung.
Die Funktion f(x) hingegen ein Polynom 3.Grades.

Ich muss nun den regler so dimensionieren, dass er stabil ist.

Aufgrund der Nichtlinearität von f(x) habe ich die Beschreibung im 
Zustandsraum aufgestellt. (Da 5 Speicherelemente vorhanden sind erhalte 
ich eine 5x5 Systemmatrix.)

Allgemein würde ich die Untersuchung wie folgt durchführen:

1.Ruhelage des Reglers bestimmen. D.h. alle Ableitungen der 
Zustandsgrößen Null setzen

2. Das System in der Umgebung der Ruhelage linearisieren. Die lineare 
Systemmatrix entspricht der Fundamentalmatrix/Jacobi-Matrix des 
DGL-Systems. Dabei werden die Ruhelagen der Zustandsgrößen eingesetzt.

3. Eigenwerte in Abhängigkeit von P- und I-Anteil bestimmen.

4. Ist Realteil der Eigenwerte negativ, ist das System stabil.

5. Für die stabilen P- und I-Werte des Reglers werden die konjugiert 
komplexen Imaginärteile der Eigenwerte betrachtet. Reduziertes 
Überschwingen bei kleinen Werten.

6. Fine-Tuning: Geschwindigkeit vs. Überschwingen anhand der Vorgaben 
von Schritt 4 und 5


Mein Problem ist, dass ich die Ruhelage nicht für alle Zustandsgrößen 
bestimmen kann.

Bisher habe ich folgendes:

- Feedback ist Gleich der Sprunghöhe des Eingangssignals xf = xe0

Die Ruhelage von v(t) hängt allerdings von f(v(t)) und der 
Feedbackverstärkung K_p zusammen: Vr = 1/( f(Vr) * K_p ) * xe0.


Hier noch die Zustandsgleichung:

$$\begin{pmatrix} \dot{v}_1\\ \dot{v}_2\\ \dot{x}_{f1}\\ \dot{x}_{f2}\\ \dot{x}_{e1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ -\frac{1}{T_1T_2} & -\frac{T_1+T_2}{T_1T_2} & -\frac{K_{PL}K_{PR}}{T_1T_2} & 0 & \frac{K_{PL}K_{IR}}{T_1T_2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ \frac{K_{PP}\cdot f(v_1)}{T_3T_4} & 0 & -\frac{1}{T_3T_4} & -\frac{T_3+T_4}{T_3T_4} & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ x_{f1}\\ x_{f2}\\ x_{e1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ K_{PL}K_{PR}\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot x_e(t)$$

Ruhelagen:

$$x_e(t) = x_{e0} v_{R2} = 0 x_{Rf2} = 0 x_{Rf1} = x_{e0}$$

Die Ruhelagen für v_R1 lässt sich aufgrund des Polynomes f(v_R1) nicht 
bestimmen.

Stimmt irgendwas an der Herangehensweise nicht?

Ich finde einfach keine Lösung. Mit einem linearen System funktioniert 
es doch auch.

Ich hoffe es findet sich jemand zur Diskussion.

P.S. Eine beschränkung auf einen Arbeitspunkt im linearen Bereich der 
Kennlinie f(v(t)) ist nicht möglich, volle Aussteuerung.

[Achim M. (minifloat)]

Kannst du nach dem Messglied nicht die Umkehrfunktion von f(x) rein 
setzen(noch vor der Summationsstelle). Oder ist f(x) keine eineindeutige 
zuordnung?
mfg mf

[Alexander L. (lippi2000)]

Dann würde ich das System durch die inverse Kennlinie linearisieren. Da 
die Kennlinie f(x) aus 3 Intervallen besteht, lässt sich dies mit 
analoger Schaltungstechnik  nicht umsetzen.

f(x) hat die Form:

1.Intervall: y=m1*x
2.Intervall: y=a2*x^3+a2*x^2+a1*x+a0
3.Intervall: y=m2*x+n2

m1<<m2

Die Zeitkonstanten des Systems liegen im ns-Bereich. Ich habe bereits 
durch stures Ausprobieren die Reglerparameter mit Simulink ermittelt. 
Brauche aber den mathematischen Nachweis.

Folgende Vorgehensweise zur Stabilitätsbestimmung:

1. Bereiche für Reglerparameter ermitteln für die Intervalle 1 u.2 der 
Kennlinie f(x) (Bereits ermittelt)

2. Bereich der Reglerparameter ermitteln für nichtlineares Intervall 2

3. Schnittmenge der einzelnen Bereiche der Reglerparameter ergibt 
Bereich für stabiles System

4. Bereich der Reglerparameter mit System simulieren um optimales 
Verhalten (Überschwingen vs.Anstiegszeit) zu ermitteln

Eine mögliche Approximation der inversen Kennlinie soll erst meine 
nächste Aufgabe sein.