Probleme bei Analysis Aufgabe Folge und Reihen:

[Kurt T. (kurtisblow)]

Hallo,
Mein Name ist Hans und ich bin neu hier im Forum und habe auch schon 
meine erste Frage:
Ich habe hier eine Aufgabe, die ich überhaupt nicht begreiffe und wäre 
sehr froh, wenn sie mir jemand vorlösen könnte:

Sei a€R Q. Sei [n⋅a]:= max{k€Z |k≤n⋅a}. Definiere die Folge
xn :=n⋅a−[n⋅a] €[0,1).
Zeige: Jedes x€[0,1] ist ein Häufungspunkt von xn.

mfg Hans

[Diode E. (c2h5oh)]

D-ITET erstes Semester tippe ich mal?

[Johann L. (gjlayde)]

Die Fole x_n sind die Nachkommastellen von n·a.
Für a = √2 sind die ersten 10 Werte der Folge z.B.:

0.414213562373095
0.828427124746190
0.242640687119286
0.656854249492381
0.071067811865475
0.485281374238571
0.899494936611665
0.313708498984761
0.727922061357857
0.142135623730951

Die Aussage ist nun, daß die Werte der Folge jeder Zahl x im Intervall 
[0,1] beliebig nahe kommen.

Man kann zum Beispiel annehmen, daß es ein x ∈ [0,1] gibt, daß kein 
Häufunkspunkt der Folge ist. Dann gibt es ein ε > 0 und ein n_0 mit

$$|x-x_n| > \varepsilon \quad\mathrm{f\ddot ur\ alle}\quad n > n_0$$

Vielleicht gelingt es dir ja, daraus einen Widerspruch abzuleiten.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Du kannst auch mal im Netz nach dem Approximationssatz von Kronecker
(bzw. Kronecker's Approximation Theorem) suchen:

  http://mathworld.wolfram.com/KroneckersApproximationTheorem.html

Da ist sicher irgendwo auch ein Beweis veröffentlicht.