Hilfe bei einfacher Partialbruchzerlegung (Z-Transformation)

[Hannes (Gast)]

Hallo! Ich muss eine Differenzengleichung auflösen. Dafür brauche ich 
die Partialbruchzerlegung, bei der ich einfach nicht weiter komme. Ich 
schildere euch mal mein Problem inklusive bisheriger Lösung (teilweise) 
bis zum Problem.

Es geht um folgende Differenzengleichung:

g(k+1) = g(k) + k + 1      mit g(0)=0

Diese soll nun als erstes Z-Transf. werden.

z*G(z) - z*g(0) = G(z) + [z/(z-1)^2] + [z/(z-1)]

z*G(z) - G(z) = [z/(z-1)^2] + [z/(z-1)]    | G(z) links auskl.

G(z) * (z-1) = [z/(z-1)^2] + [z/(z-1)]     | /(z-1)

G(z) = [z/(z-1)^3] + [z/(z-1)^2]

Jetzt möchte ich rücktransformieren.

G(z) --> g(k)

[z/(z-1)^2] --> k

Die beiden Terme sind einfach... Der letzte Term muss dann wohl vorher 
mit der PBZ bearbeitet werden... Also: (so hab ichs mir gedacht)

[z/(z-1)^3] =>  K1/(z-1) + K2/(z-1)^2 + K3/(z-1)^3

jetzt alles auf einen Nenner bringen

[K1(z-1)*(z-1)^2]+[K2(z-1)]+K3 / (z-1)^3

Jetzt der Koeffizientvergleich

z^2 --> K1 = 0

z^1 --> -2K1 + K2 = 1 ------> K2 = 1

z^0 --> K1-K2+K3 = 0  ------> K3 = 1


Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Was mach ich nun um ne bessere Form 
als vorher zu bekommen. Ist das bis hier her überhaupt richtig?

Danke euch im voraus

[Hannes (Gast)]

[K1(z-1)^2]+[K2(z-1)]+K3 / (z-1)^3

Jetzt der Koeffizientvergleich

z^2 --> K1 = 0

z^1 --> -2K1 + K2 = 1 ------> K2 = 1

z^0 --> K1-K2+K3 = 0  ------> K3 = 1


Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Was mach ich nun um ne bessere Form
als vorher zu bekommen. Ist das bis hier her überhaupt richtig?

Danke euch im voraus

so ist es richtig... sorry, vertippt...