Mathefrage: Anzahl der Lösungen zu 4x^2+y^2=konst.

[Alex B. (Firma: Ucore Fotografie www.ucore.de) (alex22)]

Hallo zusammen,

ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch.
Ich suche eine Methode um die Anzahl der möglichen Lösungen zu 
Gleichungen, wie z.B.

$$4 \cdot x^2+y^2=n$$

mit

$$x, y, n \in \N$$

zu bestimmen.

Wie macht man so etwas noch mal?

Im Prinzip benötige ich nicht die konkreten Lösungen, sondern nur die 
Anzahl der Lösungen.

Schöne Grüße,
Alex

[Arsch G. (arschgwaf)]

Also die Gleichung die du beschrieben hast is eine Ellipse der Größe "n" 
und hat als solche unedlich viele Lösungen. bzw jede Gleichung in der 
mehrere unabhängige Konstanten vorkommen beschreibt eine Kurve als 
Lösungsmenge und besteht als solche aus unedlich vielen Punkten. Wenn du 
Lösungen von Gleichungen der Art 5 = 5x^3+6x^2 meinst, ist die Anzahl 
der möglichen verschiedenen Lösungen immer kleiner gleich der größten 
Potenz die vorkommt. Um nur die Anzahl zu bestimmen, genügt es die 
Diskriminante auszurechnen.

[Alex B. (Firma: Ucore Fotografie www.ucore.de) (alex22)]

Hallo Arsch Gwaf,
würden wir von reellen Zahlen sprechen gäbe ich dir Recht. Es geht aber 
um die Menge der natürlichen Zahlen. Und da gibt es nur eine bestimmte 
Anzahl an möglichen Lösungen.

Beispiel:
4x^2 + y^2 = 13

Wird, wenn ich mich nicht irre, nur von x = 1 und y = 3 erfüllt und hat 
im Raum der natürlichen Zahlen nur diese eine Lösung.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

konkret kann ich Dir leider nicht weiterhelfen. Vielleicht bringt Dich 
auf Deiner Suche jedoch der Begriff "Diophantische Gleichung" weiter.

http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Johann L. (gjlayde)]

Zun Bestimmen der Lösungen von

$$x^2 + 4y^2 = n; \quad x, y, n \in\Z$$

löst man die Normgleichung

$$x^2 + y'^2 = n$$

über den Gaußschen Zahlen

$$\Z[i] = \Z[\sqrt{-1}]$$

In Z[i] gibt es eine Primfaktorzerlegung, die wie in Z bis auf Einheiten 
und Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt ist. Die Einheiten in 
Z[i] sind 1, -1, i und -i.

Ist p eine Primzahl aus Z, dann ist sie u.U. in Z[i] keine Primelement 
mehr; es können dir folgenden 3 Fällt auftreten:

1) p ist verzweigt.
   Hier nur der Fall für p = 2

2) p ist zerlegt, d.h. zerfällt in Z[i] in zwei Primelemente
   Hier der Fall für p = 1 mod 4

3) p ist träge, d.h. ist prim in Z[i]
   Hier der Fall für p = 3 mod 4

Dies setzte man zur Gesamtlösung für n zusammen, indem man die Lösung 
der Normgleichung für alle Primfaltoren von n bestimmt:

1) Die 2 zerlegt in 2 = (1+i)·(1-i) = i·(1-i)² was die Normgleichung
   Normgleichung löst durch 2 = 1² + 1². Da aber y' gerade sein muss,
   gibt es keine Lösung wenn die Vielfachheit von 2 ungerade ist.
   Die Normgleichung für 4 hat allerdings 2 Lösungen, nämlich
   4 = 2² + 4·0² und 4 = 0² + 4·1². Weil x, y aud N sein sollen,
   hat die Normgleichung auch für 4 keine Lösung, kann aber mit
   der Lösung für 2 zu Lösungen zu ungeradzahligen Pozenten >= 3 von 2
   Zusammengebaut werden: 8 = 2² + 4·1².
   Ebenso kann die Lösung von 4 mit Lösungen aus 2) multipliziert
   werden, um x, y aud N zu bekommen.

2) Die Normgleichung a² + b² = p ist lösbar, und weil p ungerade ist,
   ist entweder a oder b gerade und kann als y' verwendet werden.
   5 zerfällt zB in 5 = (1-2i)·(1+2i) und liefert für die Lösung
   der Normgleichung 5 = 1² + 2² = 1 + 4·1²

3) Tritt p zu ungerader Potenz auf, dann hat die Normgleichung keine
   Lösung. Ist die Potenz gerade, dann ist die Lösung
   p² + 4·0² = p²

Die Anzahl der Lösungen ist dann nur noch Durchzählen und ein paar
Fallunterscheidungen für 2 und 4 etc.

Dan ganze lässt sich aber bestimmt auch als Variationsproblem auffassen 
und ist dann viel einfacher ;-)