Summenfunktion als analytische Formel (konkretes Beispiel, Tilung)

[A. R. (redegle)]

Hallo,

ich hoffe mal sehr stark, dass sich im Offtopic ein paar Leute finden 
werden, die diesen Thread lesen.

Ich möchte Berechnen, wie viel Prozent eines Kreditvoluments pro Jahr 
zurückbezahlt werden muss, damit dieser nach n Jahren abbezahlt ist.

n ist eine Ganzzahl größer 0.

Das mag zwar im ersten Moment einfach klingen jedoch bekommt man durch 
die Tilgung jedes Jahr einen Betrag, welcher von den Schulden 
subtrahiert werden muss. Das bedeutet, dass sich die Schulden nicht mehr 
als normale Exponentialfunktion beschreiben lassen.

Nun habe ich es geschaft, die Schulden als Funktion von n zu bestimmen, 
jedoch taucht in der Formel folgende Summenfunktion auf:

$$\sum \limits _{i=0}^{n-1}(1+p)^i$$

$$0:(1+p)^0$$

$$1:(1+p)^0+(1+p)^1$$

$$2:(1+p)^0+(1+p)^1+(1+p)^2$$

$$3:(1+p)^0+(1+p)^1+(1+p)^2+(1+p)^3$$

und so weiter.


Hat jemand eine Idee, wie sich diese Summenfunktion als analytische 
Formel beschreiben lässt, die für Ganzzahlen größer als 0 das richtige 
Ergebnis liefert?

[A. R. (redegle)]

Habe eine Lösung gefunden: 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2Bp%29^i%2C+i%3D0+to+n-1
Jetzt währe nur noch der Lösungsweg schön.

Nein das sind keine Hausaufgaben jedoch würde mich der Lösungsweg sehr 
stark interessieren.

Edit: Der Beitrag #2730544 wurde nicht von mir gelöscht.

[Pink S. (pinkshell)]

http://de.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A4tendarlehen

die erste Formel

[A. R. (redegle)]

Danke für den Link. Wieder gelernt, was es doch so alles gibt.

Ich werde es mir aber noch selber herleiten und abgleichen.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Das obige ist eine geometrische Reihe und kann folgendermaßen umgeformt
werden:

$$\begin{align} \sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^i &=\frac{p\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^i}p \\ &=\frac{(1+p)\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^i-\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^i}p \\ &=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^{i+1}-\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^i}p \\ &=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(1+p)^i-\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1+p)^i}p \\ &=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n-1}(1+p)^i+(1+p)^n- (1+p)^0-\sum\limits_{i=1}^{n-1}(1+p)^i}p \\ &=\frac{(1+p)^n-(1+p)^0}p \\ &=\frac{(1+p)^n-1}p \end{align}$$

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo A.,

Deine Summe stellt nichts anderes dar als eine endliche, geometrische 
Reihe. http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Deutlich wird dies, wenn Du die Substitution

$$q=1+p$$

vornimmst. Du erhälst somit die Summe:

$$\sum_{i = 0}^{n-1} (1+p)^i = \sum_{i = 0}^{n-1} q^i$$

Mit der Formel für die endliche geometrische Reihe ergibt sich hieraus.

$$\sum_{i = 0}^{n-1} q^i = \frac{1-q^n}{1-q}$$

Durch Rücksubstitution ergibt sich letzlich:

$$\sum_{i = 0}^{n-1} (1+p)^i = \frac{1-(1+p)^n}{1-(1+p)}= \frac{(1+p)^n-1}{p}$$

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

war ich wohl ein paar Sekunden zu spät. Immerhin hast Du das Ergebnis 
jetzt von zwei unabhänigen Stellen ;-)

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[A. R. (redegle)]

Vielen Dank für die Hilfe.

Auf die geometrische Reihe hätte ich auch selber kommen müssen.