2D-Systemtheorie: Verdoppelung der Abtastfrequenz

[Frank Chramer (Gast)]

Hallo,

ich lerne gerade zweidimensionale Systemtheorie und versuche das Signal

$$x(m, n) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2}m + \frac{\pi}{4}n\right)$$

mittels zeitdiskreter Fourier-Transformation (DTFT) zu transformieren.

Meine Lösung ist:

$$X(e^{j\omega_1}, e^{j\omega_2}) = \sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{l=-\infty}^\infty \left(4\pi^2 \delta(\omega_1 + 2\pi k, \omega_2 + 2\pi l) + 2\pi^2 \delta(\omega_1 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \omega_2 - \frac{\pi}{4} + 2\pi k) + 2\pi^2 \delta(\omega_1 + \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \omega_2 + \frac{\pi}{4} + 2\pi k)\right)$$

Erstmal: Ist das korrekt so? Beim Transformieren der 1 bin ich mir etwas 
unsicher.

Was mich aber eigentlich interessiert, ist was passiert, wenn die 
Abtastrate durch das Einfügen einer Null nach jedem Wert verdoppelt 
wird. Ich habe dazu einfach alle Amplituden gerviertelt 
(Skalierungssatz) und Verschiebungen der Dirac-Impulse halbiert 
(Halbierung der Frequenz), ist das korrekt so? Also folgendermaßen:

$$\hat X(e^{j\omega_1}, e^{j\omega_2}) = \sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{l=-\infty}^\infty \left(\pi^2 \delta(\omega_1 + \pi k, \omega_2 + \pi l) + \frac{\pi^2}{2} \delta(\omega_1 - \frac{\pi}{4} + \pi k, \omega_2 - \frac{\pi}{8} + \pi k) + \frac{\pi^2}{2} \delta(\omega_1 + \frac{\pi}{4} + \pi k, \omega_2 + \frac{\pi}{8} + \pi k)\right)$$

Gruß

Frank