Phase zweier LC-Glieder

[Ginko (Gast)]

Hallo,

wenn ich zwei LC-Glieder habe, die recht nahe beieinander resonant sind, 
wie sieht es da mit der Phase aus? Ein einzelnes schiebt ja um pi. Bei 
zweien ist weit weg die Phase wieder pi, dazwischen tut sich etwas mehr. 
Ich habe mal ein Beispiel in spice angehängt.

Kann mir jmdd auf die Sprünge helfen wie man die Phase analytisch 
ausrechnen kann?

Danke!

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Einfach mit dem Knotenpunktverfahren die komplexe Spannung und von 
dieser das Argument berechnen.

Sollen R1 und R3 die Wicklungswiderstände der Spulen darstellen? Wenn 
ja, dann ist R3 falsch eingezeichnet, da er nicht in Reihe zu L1 liegt). 
Zeichnest du ihn richtig ein, brauchst du kein Knotenpunktverfahren 
mehr, es reichen dann die Formeln für die Serien- und Parallelschaltung 
von Widerständen.

[Helmut S. (helmuts)]

>Einfach mit dem Knotenpunktverfahren die komplexe Spannung und von
dieser das Argument berechnen.

Also das gibt keine einfache Formel. Das wird schon mal was mit 4. 
Grades in jw. Zeig doch mal einen Link auf das Beispiel welches du 
wirklich simulieren wolltest. Wie Yalu schon anmerkte sieht deine 
Schaltung nicht sinnvoll aus.

[Ginko (Gast)]

Hallo,

danke für die Antworten. Die Widerstände waren da drin um die Güte zu 
verringern, ohne viel nachdenken. Im Anhang nochmal Version zwei. Für 
einen einzelnen LC-Kreis bekomme ich halt ein arctan, die Phase ist um 
pi geschoben. Die Frage ist, was passiert wenn zwei so nah beisammen 
sind? Die Phase ingesamt wird ja wieder um pi geschoben, aber was 
passiert in der Nähe der Resonanzen? Und: Kann man das einfach 
analytisch rechnen? Sowas wie gewichtete arctan (vermutlich nicht)?

Danke!

[Michael W. (Gast)]

Wieso soll man das nicht analytisch rechnen können. Du hast zwei 
Paralellimpedanzen in Serie, die einen Spannungsteiler mit R bilden. Wo 
ist da das Problem?

$$U_a/U_i = \frac{Z}{R+Z}$$

$$Z=\frac{j \omega L_1}{(1-(\omega/\omega_1)^2)}+\frac{j \omega L_2}{(1-(\omega/\omega_2)^2)}$$

Aufgrund der benachbarten Resonanzen ist der Nenner von Z halt etwas 
"unruhig", und damit auch die Phase, Geheimnis ist da aber keins drin.

Ich verstehe leider noch nicht, was du konkret wissen/zeigen möchtest...

[Helmut S. (helmuts)]

Ich vereinfache mal die Schaltung und nehme an, die wird mit einer 
Stromquelle gespeist (Serienwiderstand 1MOhm entfällt dabei). Damit wird 
Uges=Iq*Z_

Außerdem nehmen wir an die beiden Resonanzkreisen haben exakt den 
gleichen idealen C-Wert und den gleichen R-Wert aber ungleiche L1 bzw. 
L2. Der Verlauf sieht dabei fast genau so aus wie bei deiner Schaltung. 
Trotz dieser Vereinfachung ist das immer noch eine riesige Formel.

Z_ = (2*R  +(2*C*R*R + L2 + L1)*jw  +(2*C*L2*R +2*C*L1*R)*(jw)^2 + 
(2*C*L1*L2)*(jw)^3)/(1 +2*C*R*jw + (C*C*R*R + C*L1 + C*L2)*(jw)^2 
+(C*C*L2*R + C*C*L1*R)*(jw)^3+C*C*L1*L2*(jw)^4)

Betrag
|Z_| =  |Zähler|/|Nenner|

Tipp:
j^2=-1
j^3=-j
j^4=1

Dessen Phase ist

phi_gesamt = phi(Zähler) -phi(Nenner)

phi_gesamt = arctan(imag(Zähler)/Realteil(Zähler)) - 
arctan(imag(Nenner)/Realteil(Nenner))

Dabei muss man beim arctan() das Vorzeichen des Realteils 
berücksichtigen. (Genau genommen berücksichtigt man den Quadranten.)

Realteil >=0
phi=arctan(Imaginärteil/Realteil))

Realteil<0
phi=180°+arctan(Imaginärteil/Realteil))

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Ich habe das Ganze mal berechnet unter der alleinigen (und IMHO auch 
ganz sinnvollen) Annahme, dass der Wicklungswiderstand der Spulen 
proportional zur Induktivität ist. Der Proportionalitätsfaktor sei r, 
also

$$R=rL$$

Dann ist die Phase der Spannung bezogen auf den Strom in dem doppelten 
Schwingkreis

$$\varphi= \mathrm{atan2}\big(\omega(\omega^2-\omega_{12}^2-r^2), (2\omega^2-\omega_{12}^2)r\big) -\mathrm{atan2}(\omega^2-\omega_1^2, \omega r) -\mathrm{atan2}(\omega^2-\omega_2^2, \omega r)$$

wobei ω₁, ω₂ und ω₁₂ die Resonanzfrequenzen der einzelnen Schwingkreise 
bzw. der Parallelschaltung beider Schwingkreise (jeweils ohne 
Berücksichtigung des Spulenwiderstands) sind:

$$\omega_1=\sqrt{\frac1{L_1C_1}}$$

$$\omega_2=\sqrt{\frac1{L_2C_2}}$$

$$\omega_{12}=\sqrt{\frac1{(L_1||L_2)(C_1||C_2)}}=\sqrt{\frac{L_1+L_2}{L_1L_2(C_1+C_2)}}$$

Für verlustfreie Spulen (r=0) und ω₁<ω₂ ist die Phasenverschiebung für 
0<ω<ω₁ und ω₁₂<ω<ω₂ gleich πi/2 und für ω₁<ω<ω₁₂ und ω>ω₂ gleich -π/2.