Frage zu RLS-Algorithmus

C soll partiell nach w abgelitten werden. e ist abhängig von w. Vergiss 
deinen letzten Ausdruck, der macht das nur komplizierter.

Folgender Ansatz:

$$\frac{\partial e^2}{\partial w}=\frac{\partial e \cdot e}{\partial w}$$

So da kannst dann die Produktregel anwenden

$$\frac{\partial e}{\partial w} \cdot e + \frac{\partial e}{\partial w} \cdot e = 2 \cdot e \cdot \frac{\partial e}{\partial w}$$

Das hat dir glaub ich gefehlt bei der Herleitung von Wikipedia.

Der Rest ist dann wieder ersichtlich.

MfG

Und wie lautet denn dann die partielle Ableitung von e nach w?
Interessant ist für mich auch die Frage:
eigentlich soll da ja der Gradient bestimmt werden, also müsste bei der 
Berechnung doch ein Vektor heraus kommen, aber irgendwie ist alles 
Skalar.

Also nach deiner Wahl der Indices (ist anders als auf Wikipedia) gilt 
für den Fehler

$$e[i]=d[i]-\sum_{m=0}^M w_{m,i} \cdot u[i-m]$$

Das sind alles Skalare, aber du kannst jene Signale, die von m abhängen, 
auch als Vektor (allgemein mit fetten Kleinbuchstaben gekennzeichnet) 
schreiben:

$$\mathbf{w}_i = (w_{0,i} \ w_{1,i} \ \dots \ w_{M-1,i} \ w_{M,i})^T$$

Das wird hier bei den adaptiven Filtern genutzt, damit das ganze ein 
bisschen übersichtlicher ist. Für die Summe gilt:

$$\sum_{m=0}^M w_{m,i} \cdot u[i-m]=\mathbf{w}_i^T \cdot \mathbf{u}_i$$

Jetzt sind Vektoren standardmäßig Spaltenvektoren, sodass "hoch T" 
daraus einen Zeilenvektor macht (transponieren). Zeilenvektor mal 
Spaltenvektor ergibt ein Skalar, sodass auch e[i] ein Skalar ist.

Aber wenn du jetzt den ganzen Mist partiell ableitest, dann kommt da 
doch ein Vektor raus:

$$\frac{\partial e[i]}{\partial \mathbf{w}_i}=\left(\frac{\partial e[i]}{\partial w_{0,i}} \ \frac{\partial e[i]}{\partial w_{1,i}} \ \dots \ \frac{\partial e[i]}{\partial w_{M-1,i}} \ \frac{\partial e[i]}{\partial w_{M,i}} \right)^T$$

Du leitest ja nach allen M+1 Koeffizienten w einzeln ab!
So, puh. Das ist der Gradient. Und wenn du dir das für ein m mal 
überlegst (nimm die Gleichung ganz oben für M=1), dann bleibt da immer 
nur das u[i-m] übrig:

$$\frac{\partial e[i]}{\partial \mathbf{w}_i}=\mathbf{u}_i$$

Aber das ist doch eigentlich genau die gleiche Herleitung wie beim 
LMS-Algorithmus. Denn letztendlich geht es darum, zur 
Wiener-Hopf-Gleichung zu gelangen und dann deren Lösung (die optimalen 
Koeffizienten) iterativ zu bestimmen.

Darf ich fragen was deine Quelle für LMS/NLMS war?