bezogene Kennkreisfrequen nü_0 und Dämpfungsgrad Theta

Markus Gast 18.02.2014 21:57 #3540219

Ich arbeite gerade an einer Aufgabe wo ich die Systemdffgl berechnen 
muss und sie in bezogener Standard-Form angeben muss. Das habe ich 
gemacht:

$0=y''(\tau)+a_1 y'(\tau)+ a_0y(\tau)$


Wobei die KOnstanten:

$a_0=\frac{T_B^2}{LC}$

$a_1=\frac{T_B}{L}\left ( R-\frac{R_1R_3}{R_2} \right )$


Jetzt ist gefragt: Geben Sie die Differentialgleichung in der bezogenen 
Form unter Verwendung der bezogenen Kennkreisfrequen nü0 und des 
Dämpfungsgrads Theta an

Meine Frage ist jetzt: Was sind diese zwei Größen Theta und nü_0? Ich 
finde diese nirgends in meinen Unterlagen. Kann mich vielleicht wer 
verweisen?

Danke schon im Voraus!

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innerand i. (innerand) 19.02.2014 13:06 #3540925

$y'' + 2D \omega_0 y' + \omega_0^2 y = 0$


Kennkreisfrequenz:

$\omega_0$


Dämpfungsgrad:

$D$

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Markus Gast 19.02.2014 14:37 #3541101

Ich verstehe aber nicht wieso da eine Frequenz sein soll? Was sagt das 
überhaupt aus?
Wieso definiere ich diese so? Eine DG ist doch eine DG und die hat eben 
Lösungen. In diesem Fall wird es ein C * e^(lambda*t).
Ich seh da die Sinnhaftigkeit nicht. Vermutlich hat es was mit dem 
Schwingverhalten zu tun, ich finde aber dazu gar nichts...

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innerand i. (innerand) 19.02.2014 16:43 #3541307

Der Sinn ergibt sich, wenn sie noch einen gedämpfte Eigenfrequenz

$\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-D^2}$

 für D < 1 einführen und sie die Diff-Gleichung lösen.

Die Lösung ist dann:

$y_{(t)} = e^{-D \omega_0 t} ( C_1 \cos{(\omega_d t}) + C_2 \sin{(\omega_d t)})$


Der Vorteil ist, dass man die Diffgl. oft nicht zu Lösen braucht weil 
man gewisse Dinge direkt an der Diffgl. ablesen kann (Dämpfung, 
Eigenfrequenz...).
Mechanische Systeme (gedämpfter Ein-Massen-Schwinger) sehen übrigens 
genau so aus.

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