Hallo, ich sitze jetzt schon fast 4 Stunden an folgender Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die folgenden Differentialgleichungen mit Eingangssignal u(t) und Ausgangssignal y(t) linear bzw. zeitinvariant sind, und begründen Sie ihre Aussagen. (a) y´´(t)=-ky(t) + u(t) Tipp: Gehen Sie zum Test der Linearität von zwei Lösungstrajektorien u1(t), y1(t) und u2(t),y2(t) aus, und zeigen Sie explizit, dass jede Linearkombination auch eine Lösung ergibt. Zum Test der Zeitinvarianz betrachten Sie eine in der Zeit verschobene Losungstrajektorie und testen Sie, ob sie wieder eine Losung der Differentialgleichung ist. Was Linearität und Zeitinvarianz bedeutet habe ich glaub verstanden. Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz wie ich hier anfange. Irgendjemand eine Idee? Gruß Tom
"Was Linearität und Zeitinvarianz bedeutet habe ich glaub verstanden. Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz wie ich hier anfange. Irgendjemand eine Idee?" Die beiden Sätze passen nicht zusammen. Entwerder man hat zumindestens eines der beiden Eigenschafen verstanden und kann sofort eine Idee verschlagen, oder man hat keinen blassen Schimmer und fragt nach.... zeitinvariant: y(t) = f(u(t)) == y(t+n) = f(u(t+n)) mit y(t=0) = y0 und y(t=n) = y0
Ja, das ist ja die Definition von Zeitinvariant in einem einfachen System. Aber wie wende ich das auf eine DGL zweiter Ordnung an? Ich befürchte, dass es ganz einfach ist und ich einfach nur tierisch auf dem Schläuche stehe.
Wo ist das Problem? Du brauchst eigentlich nur die entsprechende Definition des Begriffs "linear": ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Eine DG heißt definitionsgemäß linear, wenn für alle Lösungen y1 und y2 auch alle deren Linearkombinationen a y1 + b y2 wieder Lösungen sind. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (Mit konstanten Koeffizienten a und b, d. h. da dürfen keine x-abhängigen Funktionen stehen.) Beispiel: y'' + k y = 0 ist eine lineare DG. Beweis: (a y1 + b y2)'' + k (a y1 + b y2) = a y1'' + b y2'' + k a y1 + k b y2 = a (y1'' + k y1) + b (y2'' + k y2) = a*0 + b*0 = 0 <==> a y1 + b y2 ist eine Lösung der DG. <==> Die DG ist linear. In den ersten Schritt der Umformungskette geht die Linearität des ''-Operators ein, und in den dritten Schritt die Tatsache, dass y1 und y2 voraussetzungsgemäß Lösungen der DG sind. Alles sonst ist rein algebraisch gerechtfertigt. [Ende des Beweises] Es ist übrigens auch ganz lehrreich, dasselbe mal für eine /nicht/-lineare DG zu versuchen, um zu erfahren, dass und inwiefern genau der Beweis dann scheitert. Als Kandidaten kannst Du etwa y'' + k y² = 0 oder y'' + k/y = 0 oder y'' + k sin(y) = 0 nehmen - die sind alle nichtlinear. Jetzt solltest Du genug gelernt haben, um auch Deine eigentliche Aufgabe bewältigen zu können. Viel Erfolg!
Tom schrob um 14:44 Uhr
>ich sitze jetzt schon fast 4 Stunden an folgender Aufgabe:...
Schmeiß den Rotz in die Ecke, laß Dir nicht den Sonntag und dessen
herrliches Wetter schon von 10 Uhr früh an verderben.
Das dankt Dir Niemand und das Problem ist auch am Motagmorgen noch
frisch.
MfG Paul
Vielen Dank LostInMusic!!! So habe ich es verstanden. Manchmal echt witzig, wie einfach etwas ist, wenn man zu kompliziert denkt. >Es ist übrigens auch ganz lehrreich, dasselbe mal für eine >/nicht/-lineare DG zu versuchen, um zu erfahren, dass und inwiefern >genau der Beweis dann scheitert. Es waren noch mehrere Aufgaben, auch mit nichtlinearen. War jetzt alles kein Problem mehr ;-) Zu Paul Baumann und Dipl.- Gott.: Was muss, dass muss. Aber keine Angst, ich habe das Wetter schon genossen. Hab zum Einen draußen gelernt und dann auch noch eine Motorradtour gemacht ;-) Also alles Bestens. Vielen Dank an alle
Tom, mich würde interessieren welchen Ansatz du für die Zeitvarianz gewählt hast. Kannst du hier bitte ein Beispiel geben?
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