Linearität und Zeitinvarianz von DGL

"Was Linearität und Zeitinvarianz bedeutet habe ich glaub verstanden.
Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz wie ich hier anfange. Irgendjemand
eine Idee?"

Die beiden Sätze passen nicht zusammen. Entwerder man hat zumindestens 
eines der beiden Eigenschafen verstanden und kann sofort eine Idee 
verschlagen, oder man hat keinen blassen Schimmer und fragt nach....

zeitinvariant:

y(t) = f(u(t))  ==   y(t+n) = f(u(t+n))
mit y(t=0) = y0 und y(t=n) = y0

Ja, das ist ja die Definition von Zeitinvariant in einem einfachen 
System. Aber wie wende ich das auf eine DGL zweiter Ordnung an? Ich 
befürchte, dass es ganz einfach ist und ich einfach nur tierisch auf dem 
Schläuche stehe.

Wo ist das Problem? Du brauchst eigentlich nur die entsprechende 
Definition des Begriffs "linear":

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Eine DG heißt definitionsgemäß linear, wenn für alle Lösungen y1 und 
y2 auch alle deren Linearkombinationen a y1 + b y2 wieder Lösungen sind.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(Mit konstanten Koeffizienten a und b, d. h. da dürfen keine 
x-abhängigen Funktionen stehen.)

Beispiel: y'' + k y = 0 ist eine lineare DG.

Beweis:

(a y1 + b y2)'' + k (a y1 + b y2)

    = a y1'' + b y2'' + k a y1 + k b y2

    = a (y1'' + k y1) + b (y2'' + k y2)

    = a*0 + b*0

    = 0

<==> a y1 + b y2 ist eine Lösung der DG.

<==> Die DG ist linear.

In den ersten Schritt der Umformungskette geht die Linearität des 
''-Operators ein, und in den dritten Schritt die Tatsache, dass y1 und 
y2 voraussetzungsgemäß Lösungen der DG sind. Alles sonst ist rein 
algebraisch gerechtfertigt.
[Ende des Beweises]

Es ist übrigens auch ganz lehrreich, dasselbe mal für eine 
/nicht/-lineare DG zu versuchen, um zu erfahren, dass und inwiefern 
genau der Beweis dann scheitert. Als Kandidaten kannst Du etwa y'' + k 
y² = 0 oder y'' + k/y  = 0 oder y'' + k sin(y) = 0 nehmen - die sind 
alle nichtlinear.

Jetzt solltest Du genug gelernt haben, um auch Deine eigentliche Aufgabe 
bewältigen zu können. Viel Erfolg!

Vielen Dank LostInMusic!!! So habe ich es verstanden. Manchmal echt 
witzig, wie einfach etwas ist, wenn man zu kompliziert denkt.

>Es ist übrigens auch ganz lehrreich, dasselbe mal für eine
>/nicht/-lineare DG zu versuchen, um zu erfahren, dass und inwiefern
>genau der Beweis dann scheitert.

Es waren noch mehrere Aufgaben, auch mit nichtlinearen. War jetzt alles 
kein Problem mehr ;-)

Zu Paul Baumann und Dipl.- Gott.:
Was muss, dass muss. Aber keine Angst, ich habe das Wetter schon 
genossen. Hab zum Einen draußen gelernt und dann auch noch eine 
Motorradtour gemacht ;-) Also alles Bestens.

Vielen Dank an alle

Tom,
mich würde interessieren welchen Ansatz du für die Zeitvarianz gewählt 
hast. Kannst du hier bitte ein Beispiel geben?

Indem man die DGL mit t -> t+t0 loest.