Hallo, ich habe ein Gleichungssystem deiser Form mit mehreren 1000 Zielen: 4 = 3.1 - 4 + 6.7 + 3 + 5 - 7.7 + 2 + 5 + 1 1 = 4.2 + 2 + 2.7 - 1 + 2 + 7.8 + 3 + 2 + 1 . . 3 = 5.5 + 3 + 2 - 3 + 2 + 5 + 2.1 + 7.1 + 1 Matlab löst dieses überbestimmtes Gleichungssystem mit dem einfachen Befehl x = H\z; wobei "H" zum Beispiel ein Matrix mit der Grösse 5945x9 und "z" ein Vektor 5945x1 ist. Ich würde gern diese Rechnung in C++ Programmieren, um von Matlab unabhängig zu sein. Wie kann ich dies am besten machen? Gruss Zoltan
Ein klassischer Fall für do_what_i_mean(). Im Ernst: Wo liegt das Problem? Überleg dir einen Algorithmus, mit dem man überbestimmte Gleichungsssysteme lösen kann. Um diesen Schritt kommst du bei keiner Programmiersprache (außer Matlab) herum. Diesen Algorithmus programmierst du dann in C++, was das geringste Problem darstellen sollte. Bei konkreten Problemen wird dir hier gerne geholfen, etwas Eigeninitiative solltest du aber schon zeigen.
Wenn Gauß dies hätte lesen müssen, hätte er sicher gekotzt!
Hallo Zoltan, deine Frage ist absolut berechtigt und konkret gestellt! Warum sich hier immer mal wieder Leute "auskotzen" müssen, die nicht in der Lage sind etwas zum Thema beizutragen ist mir schleierhaft. Solche Probleme tauchen in der Praxis auf, wenn man Gleichungssysteme lösen will, bei denen jede Gleichung mit einer gewissen Unsicherheit belastet ist, wie es beispielsweise bei physikalischen Messdaten der Fall ist, die mit Rauschen und Messfehlern überlagert sind. Deswegen macht es da oft Sinn, deutlich mehr Gleichungen als Unbekannte aufzustellen. Das hat den Vorteil, dass man auch dann noch brauchbare Ergebnisse bekommt, wenn einige Gleichungen völlig daneben liegen. Und nun die konkrete Lösung: x=(H'*H)^(-1)*H'*z wobei H' die Transponierte ist. Diese Lösung ist optimal, weil x so bestimmt wird, dass der Fehler minimal ist. Den C++ Code solltest du damit wol selber hinbekommen. Viel Erfolg, Thomas
x=(H'*H)^(-1)*H'*z wäre so etwas wie die Pseudionverse, nicht wahr? Also x=H_PsInv*z, wobei in meinem Fall H_PsInv eine 9x9 Matrix wäre. Zum Lösen dieser quadratischen Gleichung würde ich das "Gauss Verfahren" oder die "Carmensche Regel" anwenden. Dazu hätte ich noch eine Frage: Bietet ein iterativer Verfahren wie Jakobi oder Gauss-Seiderverfahren irgend welche Vorteile beim Numerischen Lösen von Gleichungssystemen? Gruss Zoltan
Kleine Korrektur: Das sollte natürlich "quadratischen Matrix" und nicht "quadratischen Gleichung" heißen.
Ja, (H'*H)^(-1)*H' ist die Pseudoinverse, eine richtige Inverse lässt sich ja nur von quadratischen Matrizen bilden. Diese hat allerdings die Dimension H', ist also nicht quadratisch. Von den ganzen Verfahren und Regeln, von denen du da sprichst hab ich keine Ahnung, einige lassen sich anscheinend eh nur auf quadratische Matrizen anwenden. Ich würde das jetzt einfach so programmieren, wie es da steht. Die Transponierte und die Multiplikation dürften sich einfach mit je 2 ineinander verschachtelten for Schleifen reallisieren lassen. Bei der Inversen müsste ich jetzt auch nachschauen, wie das nochmal geht, dazu muss man erst die Determinante bilden. Warscheinlich gibts aber auch freie Matrix Algebra Bibliotheken, kannst ja mal in PC-Programmierung nachfragen, würde mich auch interessieren. Gruß, Thomas
Ich habe einen Fehler gemacht: x = (H'*H)^(-1)*H'*z kann man umforem nach H'*H*x = H'*z H'*H ist meine 9x9 Matrix und H'*z ist ein 9x1 Vektor. Ich habe dazu eine super Seite gefunden: http://ceee.rice.edu/Books/CS/chapter3/data34.html Danke für die Hilfe Thomas, Gruss Zoltan
Gute Quelle ist auch 'Numerical Recipes in C', googeln nach Titel bringt nen link der Cornell Uni., der einzelne Kapitel sehen läßt. Cheers Detlef
Hallo Zoltan. Hatte auch mal x = H \ z zu lösen. Als ich spitz gekriegt habe, dass MATLAB auch nur LAPACK-Routinen & co aufruft, habe ich von LAPACK die Routine DGELS verwendet. Diese ist in Fortran programmiert, lässt sich aber auch von C aus verwenden. Vorteil: Es funktioniert (mature-code). Schon mein Informatik-Prof sagte damals: "Bevor Sie sich in C++ bezüglich der Lösung mathematischer Probleme verstricken, kaufen Sie sich einfach eine fertige und erprobte Lösung; z.B. Numerical Receipes" Gruß Marco -
Im Anhang befindet sich eine Datei mit zwei Versionen (c++ / Matlab) der Householdertransformation zur Lösung von überbestimmten linearen Systemen. Gruss Zoltan
Noch ein Hinweis zu der ganzen Diskussion: Mit dem "Template Numerical Toolkit (TNT)" gibt es ein (freies) auf Templates basierendes, einfach zu benutzendes Numerik-Paket für C++. Lässt insgesamt ein wenig MATLAB-Flair aufkommen... ;) Zu finden unter: http://math.nist.gov/tnt/ Ich hab's benutzt und find es wesentlich angenehmer als LAPACK. Zudem ist es (für meine Implmentierungen) um ca. 25% schneller. Grüße, Daniel P.S.: die Überführung eines überbestimmten GLS der Form H*x=z in die Form H'*H*x = H'*z nennt sich 'Gauss-Transformation'. (Wie Thomas richtig sagte, liefert das eine exakte Lösung, im Sinne von least squares.) Die Koeffizientenmatrix H'*H ist dabei quadratisch. Das GLS lässt sich dann mit einer LU- oder QR-Zerlegung, wie sie im TNT zu finden ist, ganz 'einfach' lösen...
H'*H ist quadratisch und symmetrisch und läßt sich Cholesky-zerlegen, das ist numerisch günstiger.
Mal ne dumme Frage: Was gibt es denn hier zu lösen? Ich sehe gar keine Unbekannten ?!?
Aber Michael, die Nichterkennbarkeit von Variablen ist doch DAS Wensensmerkmal von Unbekannten. Deshalb heissen sie ja so.
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