Suche Simple Formel für 2D Wellenausbreitung nach einmaliger Anregung

[Niels J. (niels)]

N'Abend,

ich suche eine Formel für eine Welle, die einmalig angeregt wird, sich 
ausbreitet und dabei langsam abklingt.
Also im Grunde ein Querschnitt durch die Wasseroberfläche, nachdem ein 
Tropfen hineingefallen ist. Falls ich evtl. einfach bisher nur zu blöd 
war Tante Suchmaschine zu befragen, gebe ich mich natürlich auch mit den 
passenderen Suchbegriffen zu Frieden, oder ähnlichen Hinweisen.

Ich möchte die wandelnden Wellen der "Wasseroberfläche" als Farbwert auf 
einem WS2812 Strip darstellen, stelle ich mir irgendwie ganz nett vor.

Beste Grüße

[Johannes B. (astroleopard)]

Guten Abend,

da mich die Modellierung derartiger Prozesse auch interessiert, habe ich 
etwas herumprobiert und eine doch stattliche Funktionsgleichung für die 
Frage gefunden. Für solche Angelegenheiten ist die Gleichung dann doch 
etwas länger.

Dafür nehme ich an, dass die Reibung vom Zentrum der Anregung her 
ausgehend in einer Exponentialfunktion abnimmt.

Bei einer mechanischen Welle, auch wenn sie abklingt, muss eine 
Schwingung vorhanden sein. Diese wird mit einer Sinus-Funktion erreicht:

f1(x)=sin(x).

Um sie abklingen zu lassen, muss sie gedämpft werden. Das geschieht mit 
einer Exponentialfunktion:

f2(x)=e^x.

Sie steigt an, weil sie sich nach rechts ausbreiten soll (siehe Diagramm 
in Graphen_1.png).

Jetzt brauchen wir nur noch die Funktion, mit der die Amplitude in 
Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg abnimmt (Verluste durch Reibung, 
hier exemplarisch mit der Basis 2, physikalisch stimmt es natürlich 
nicht):

f3(x)=2^(-x).

Da sich die Welle auf der Wasseroberfläche ausbreitet, muss die Funktion 
noch verschoben werden. Dafür wird in f2 und f3 x durch x-a*π ersetzt. a 
ist eine zweit Laufvariable.

Am besten kann man die Gleichungen nachvollziehen, indem man einen 
grafikfähigen Taschenrechner oder eine Mathematiksoftware, wie 
EulerMathToolbox, Mathematica, Gnuplot etc. verwendet. Dabei ist bei 
diesem Beispiel auf die Einstellung Radiant, also Bogenmaß zu achten, es 
kann aber auch von Hand in Grad umgerechnet werden.

Beim Zusammensetzen der Gleichung ist es von Vorteil, wenn die einzelnen 
Terme noch etwas modifiziert werden, deshalb taucht der Divisor 4 im 
zweiten Hauptterm und die Terme für die Verschiebung a*π, sowie der 
Faktor 2 in der Sinusfunktion auf. Für die Anwendung kann natürlich 
alles angepasst werden, ich habe erst einmal alles so gewählt, dass es 
einigermaßen passt und anschaulich aussieht.

f(a;x)=[1/2^x]*[e^(x-a*π)/4]*[sin(2(x-a*π))]

(Bei manchen Programmen kommt man an die e-Funktion durch 
exp("Argument") heran.)

a ist die Verschiebevariable. Für diese setzt man am besten jeweils 
Werte, wie 0,1 oder so ein. Diese Variable ist die Zeit. Für jede Zeit 
muss also die Funktion neu berechnet werden.

x ist die Laufvariable der Entfernung vom Mittelpunkt der Anregung. x 
ist nur in einem bestimmten Definitionsbereich gültig. Ich empfehle, 
eine Halbperiode rechts neben der y-Achse die Definitionsgrenze zu 
setzen. Diese verschiebt sich natürlich, da ja die Zeit fortschreitet 
und die Welle eine Strecke zurücklegt, alle anderen Stellen x sind damit 
ungültig (Im Diagramm mit Paint entfernt).

Der Definitionsbereich muss dann je nach Anwendungsfall angepasst 
werden.

Im Anhang ist der Graph der Funktion dargestellt für a=0 in schwarz, für 
a=0,25 in rot, für a=0,50 in blau und für a=1,00 in grün. Die Anregung 
hat bei a=0 gerade erst statt gefunden. Bei den anderen Werten für a ist 
die Zeit jeweils weiter fortgeschritten und damit auch ein weiterer Weg 
zurückgelegt worden. Man erkennt, dass das Maximum nach rechts wandert 
und damit eine abklingende Welle in einem See simuliert wird.

In der Datei Graphen_2.png ist eine bessere Näherung für die 
tatsächlichen Vorgänge im See dargestellt. Die an der y-Achse gespiegelt 
Funktion mit cos zeigt den Querschnitt zum Zeitpunkt, als die 
Wellenfront sich schon ausbreitet. Um den Koordinatenursprung weichen 
die Kurven voneinander ab. Es ist ja auch nur ein Modell. Hier die zwei 
Funktionsgleichungen:

rechts: f(a;x)=[1/2^x]*[e^(x-a*π)/4]*[cos(2(x-a*π))]
links:  f(a;x)=[2^x]*[e^(-x-a*π)/4]*[cos(2(-x-a*π))]

mit a=0 im Diagramm.

Die Diagramme sind mit EulerMathToolbox erstellt und mit Paint 
bearbeitet worden.

Ich hoffe es ist alles verständlich und trotz der Länge nachvollziehbar 
und kurzweilig. Bei Fehlern bitte berichtigen, denn es ist schon spät 
:D.

Mit besten Grüßen

astroleopard