Mathematische Frage: Pole, Residuen und Nullstellen oder: Vector fitting

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo Freunde der Mathematik

ich habe folgende Frage. Ich habe eine Übertragungsfunktion, welche 
gegeben ist mit Partialbrüchen:

$$G(s) = \frac{r_1}{s-\alpha_1} + \frac{r_2}{s-\alpha_2} + \ldots + \frac{r_n}{s-\alpha_n}$$

Nehmen wir mal an, die Residuen

$$r_i$$

 und die Pole

$$\alpha_i$$

 seien bekannt. Wie komme ich möglichst direkt auf die Nullstellen? Also 
ich will die

$$\beta_i$$

 so berechnen, dass

$$G(s) = \frac{(s-\beta_1)(s-\beta_2)\ldots (s-\beta_m)}{(s-\alpha_1)(s-\alpha_2)\ldots (s-\alpha_n)}$$

ist.

Hintergrund: ich möchte gerne verstehen, wie das Vector Fitting, das 
hier beschrieben ist

https://www.sintef.no/globalassets/project/vectfit/vector_fitting_1999.pdf

genau funktioniert und möchte es selbst mal versuchen in MATLAB zu 
implementieren. (Ja ich weiss, von der Site bekommt man das fertig als 
Matlab-Skript, aber ich möchte es selber nachvollziehen). Oder kennt der 
eine oder andere dieses Vector Fitting und kann direkt dazu was sagen?

Bin mal gespannt.

Gruss
Tobias

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Da bleibt dir wohl nicht viel anders übrig als den Term auf einen
gemeinsamen Nenner zu bringen und die Nullstellen des Zählerpolynoms zu
bestimmen. Es läuft also auf die Lösung einer Gleichung n-1-ten Grades
hinaus, was für kleine n symbolisch, für n>5 i.Allg. nur noch numerisch
möglich ist.

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo Yalu

sorry für die späte Antwort. Ich habe gesehen, dass weiter hinten in dem 
Paper beschrieben ist, wie man aus den Polen und den Residuen zu den 
Nullstellen kommt. Nämlich mit Gleichung B.1 auf Seite 8.

O.K. ich hab das soweit mal nachvollzogen hier in Matlab und das 
funktioniert tatsächlich. Was ich aber nicht verstehe ist dieser Satz:

"However, a more accurate result is obtained by solving the original 
problem with with the zeros as new poles"

(Stage #2). Der Satz ist ein wenig verwirrend. Weisst du was das 
bedeutet?

Ich habe hier ein paar "Messwerte" von einer Übertragungsfunktion, 
welche ich simuliert habe (Betrag und Phase) und habe diese Messwerte 
mal in die Routine eingespiesen und ein paar Pole nach Zufall 
vorgegeben. Und in der Tat spuckt der Algorithmus am Ende die richtigen 
Pole heraus. Jetzt braucht man ja noch die Nullstellen. Dazu muss man da 
"irgendwie" die Pole und Nullstellen umkehren, aber ich sehe grad nicht 
wie. Du?

Gruss