Herleitung der Knoten- und Maschenngleichungen im Komplexen

[student01 (Gast)]

Guten Abend,
ich sitze gerade vor dem Skript eines Professors und wundere mich ein 
bisschen darüber, dass man die kirchhoffschen Gleichungen einfach so ins 
Komplexe übertragen kann.
Irgendwie gibts hier kein Latex, deswegen schreibe ich das mal etwas 
vereinfacht auf:

e^(j*w*t) * (i1 + i2 + ... + in) = 0, wobei i1,i2,etc. komplexe Zahlen 
sind

Anschließend kürzt er e^(j*w*t) raus und freut sich über diese schön 
einfache Gleichung.

Allerdings verstehe ich nicht, warum man davon ausgehen darf, dass alle 
Ströme dieselbe Frequenz besitzen.
Aus diesen Regeln bestehen aber sämtliche weitere Aufgaben, die ich 
berechnen soll.
Warum darf man diese grobe Vereinfachung einfach so verwenden, wenn in 
einem Netzwerk doch zumindest rein intuitiv gesehen auch andere 
Frequenzen drin vorkommen können?
Grüße

[Zilp Z. (zirp)]

Dieselben Frequenzen ? Wieviele Quellen hast du denn ? Bei nur einer 
Quelle bestimmt diese die Frequenz. Die komplexen Elemente bewirken eine 
Phasenverschiebung.

[lach (Gast)]

wenn sich e^(j*w*t) rauskürzt, ist somit bewiesen dass die konkrete 
Schaltung in deiner Hausaufgabe frequenzunabhängig ist.

[Helmut S. (helmuts)]

Hier werden lienare Systeme betrachtet. Da ist die Summe am Ausgang 
gleich der Summe der Antwort der verschiedenen Eingangssignale bei den 
einzelnen Frequenzen. Wenn du Spannungen mit verschiedenen Frequenzen 
auf deine Schaltung gibst, dann musst du die Schaltung getrennt nach 
jeder Frequenz berechnen.

[Zilp Z. (zirp)]

Ein lineares Netzwerk erzeugt keine Frequenzen. Die Quellen geben die 
frequenz vor.

[student01 (Gast)]

>Hier werden lienare Systeme betrachtet. Da ist die Summe am Ausgang
>gleich der Summe der Antwort der verschiedenen Eingangssignale bei den
>einzelnen Frequenzen. Wenn du Spannungen mit verschiedenen Frequenzen
>auf deine Schaltung gibst, dann musst du die Schaltung getrennt nach
>jeder Frequenz berechnen.

Ah, ok. Heißt das, der Knotensatz gilt praktisch gesehen nur bei 
linearen Netzwerken mit einer Quelle? Bei mehr als einer Quelle würde es 
ja sehr kompliziert werden, auch wenn der Satz aufgrund der 
Ladungserhaltung natürlich noch gelten müsste.

Anders gesagt: Bei linearen, zeitinvarianten Netzwerken (also 
Widerstandsnetzwerke) konnte man ja alle Spannungen und Ströme - auch 
bei mehreren Quellen - durch ein einziges Gleichungssystem bestehend aus 
den Kirchhoffschen Gleichungen und den U-I-Relationen berechnen. Geht 
das bei dynamischen Systemen auch noch, oder muss man hier immer der 
Überlagerungssatz verwenden?
Grüße

[Helmut S. (helmuts)]

> Ah, ok. Heißt das, der Knotensatz gilt praktisch gesehen nur bei
linearen Netzwerken mit einer Quelle?


Nein. Du kannst beliebig viele Quellen haben. beim Drehstromsystem hast 
du z. B. 3 Quellen.

[Zilp Z. (zirp)]

Bei Systemen mit mehreren Quellen muss man ueberlagern. Rechnet immer 
noch mit Impedanzen.

Bei nichtlinearen Systemen gelten zwar die Maschengleichungen noch, und 
die Knotengleichungen auch noch. Ueberlagern darf man nicht mehr. Dh man 
kann ein Gleichungassystem nicht mehr als lineares Gleichungssystem 
loesen.
Das mit den Impedanzen funktioniert so auch nicht mehr.
Weshalb funktioniert das mit den Impedanzen nicht mehr ? Eine Impedanz 
ist wie ein Widerstand etwas Lineares. Eine Reaktanz beinhaltet noch 
eine zusaetzliche Phase. Phase in Bezug zu ? Zu einer Frequenz. Nur 
erzeugt man mit nichtlinearen Netzwerken neue Frequenzen.
Nebenbei geht Fourier nicht mehr. Denn Fourier ist ein lineares 
Konstrukt. Man kann nicht ein beliebiges Signal als Fourierkoeffizienten 
auf ein Nichtlineares Netzwerk loslassen, mit der Uebertragunsgfunktion 
multiplizieren und wieder Zusammensetzen. Weil die nichtlinearen 
Elemente vom Betriebspunkt abhaengen.
Das bedeutet dann numerische Loesungen inklusive 
Differentialgleichungen.

[Franz (Gast)]

>Irgendwie gibts hier kein Latex, deswegen...

$$e^{j*w*t} * (i_1 + i_2 + ... + i_n) = 0$$

Aha!?