Stabilität eines P-Reglers

[Michael W. (Gast)]

Ich helfe gerade jemanden im Fach Regelungstechnik.

Hier geht es um ein konkretes (und sehr einfaches) Beispiel, dessen
Musterlösung ich nicht verstehe.
Es geht um eine Strecke S, bestehend aus zwei PT1 Gliedern, also

S(s) = 1/{(1-s/50)(1-s/500)}

Nun soll diese Strecke mit einem reinen P-Regler

R(s) = Kp

geregelt werden.

Die Frage lautet: Wie groß ist die kritische Verstärkung des Reglers
Kp_max, bei der sich instabiles Verhalten einstellt?

In der gegebenen Musterlösung wird angenommen, dass der Phasengang ab
w=1000 konstant 180° ist. Und dort wird nun im Amplitudengang geschaut,
wie viel dB nach oben man noch hat, bis man |R(s)|*Kp=1 erreicht.

Da der Phasengang aber niemals 180° erreicht, ist das System doch
sowieso immer stabil (wenn auch u.U. mit extrem kleiner Phasenreserve).
Der Punkt bei w=1000 ist doch nur ein virtueller Punkt für das Auge, der
sich durch die segmentierte Linearisierung der Phase ergibt.

Wie kann man also so eine Lösung behaupten?
Ist das nicht Schwachsinn oder hab ich da was übersehen?

Danke !

[N. B. (saint1234)]

Hi,

Wenn mathematisch an das problem gehst, wäre die Übertragungsfunktion 
durch folgende Gleichung beschrieben:

 H(s) = S(s)/(1-S(s)R(s))

Sollte durhc vergrößern des P Anteils (R(s)) die Schleifenverstärkung 
Betragsmäßig 1 erreichen ( |S(s)R(s)| = 1) so müsstest du durch 0 
teilen. Daraus folgt die Instabilität des Systems.

Man macht einfach einen Kompromiss zwischen Überschwinger und 
Bandbreite, welcher bei einer Phasenreserve von min 45° liegt. Sollte 
man unter diese Phasenreserve kommen, kann man eine selbsterregung 
nichtmehr ausschließen.

Theorthisch reichen extrem kleine Phasenreserven, durch Parasitäre 
Effekte in realen Schaltungen, wirst du jedoch schnell merken, dass die 
Phasenreserve schnell gegen 0 geht. Zudem musst du beachten, dass wenn 
die Änderung des Eingangssignal des Systems eine höhere Frequenz besitzt 
als deine Einschwingdauer, dein System als instabil gilt.

Ich hoffe ich konnte helfen.

Gruß

[Michael W. (Gast)]

Danke.
Das war aber alles klar. Es beantwortet nicht meine Frage ;-)

[Lutz V. (lvw)]

Michael - formal hast Du recht. Die Schleifenverstärkungsfunktion 
erreicht die kritische Phase von 180 Grad bei keiner endlichen Frequenz. 
Also - theoretisch - für jeden P-Regler stabil, wenn auch mit evtl. 
extrem kleiner Reserve. Also kann die Lösung aus rein praktischen 
Erwägungen heraus nur auf der - vereinfachenden - Annahme beruhen, dass 
ab einer gewissen Frequenz die Phasendrehung nicht "wesentlich" von 180 
Grad abweicht (Reserve dann eben nur wenige Grad). Das führt natürlich 
zu einer Sprungantwort mit sehr langer Einschwingzeit, was sich in der 
Praxis verbietet.