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Forum: Offtopic Hilfe zu Matheaufgaben


Autor: F. Keilbach (Gast)
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Hallo!

In Mathe habe ich weitere Probleme mit den Grenzwerten:

1. Aufgabe:

lim [(e^(-3x)-1)^2/x^2]
x->0

lim [cos(2x)]^(-1/x)
x->0

Wie muss man da vorgehen?

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Sorry ich habe da noch was vergessen.
Auf dem Blatt sind noch zwei weitere Aufgaben, und da soll
man für die folgenden Funktionen das totale Differential berechnen:

f(x,y) = arctan(x/y)

f(x,y,z) y * e ^(xy/z)

Autor: Läubi (Gast)
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Also am einfachsten geht das mit Zettel udn Stift, etwas nachdenken und
dem Unterichtsbegelitendem Material (Buch)

Autor: Ratber (Gast)
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Ja,is lustig.

Seit es auf den einst so beliebten Schummelseiten plötzlich "Pagare"
heißt sind die Foren voll mit mehr oder weniger gut getarnten
Hausaufgaben. '-)

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Hallo!

Also wenn Du ableiten kannst, solltest das totale Differential auch
kein Problem sein. Mach doch wenigstens mal einen Vorschlag für ein
Ergebnis, dann stehen die Chancen gut, dass Dir jemand hilft, weil Du
damit zeigst, dass Du wenigstens schon mal drüber nachgedacht hast.
Macht so nicht unbedingt den Eindruck.

Zu den Grenzwerten: Du veränderst eine Funktion f(x) nicht, wenn Du für
sie schreibst: exp(ln(f(x))). Da die Funktionen gleich sind, haben sie
auch dieselbe Ableitung. Diese Schreibweise hat allerdings den Vorteil,
dass Du den Exponenten vor den Logarithmus ziehen kannst und dann
einfach die e-Funktion ableiten kannst (nachdifferenzieren nicht
vergessen).
OK?

Viel Erfolg!
Pete

Autor: Heiner Bm (karadur)
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Hallo

male mal den Graphen in der Nähe des Grenzwertes und dann hilft
Nachdenken.

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Also bei dieser Aufgabe lim:cos(2x)^(-1/x)

Gehe ich so vor:

e^lim((1/x)ln(cos(2x)
  x-->0
so und dann so:
lim((1/x)ln(cos(2x)= [unendl.|1]=
x-->0

lim(ln(cos(2x) / x)
x-->0

lim(1/(cos(2x) * -2sin(2x))
x-->0

weiter weiss ich nicht.

Die andere Grenzwert aufgabe weiss ich gar nicht, sowie das totale
differential.

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Oh, du wolltest ja den Grenzwert und nicht die Ableitung. Sorry. Also
nix mit Ableiten. Aber das Umschreiben funktioniert trotzdem.

>>Also bei dieser Aufgabe lim:cos(2x)^(-1/x)
>>Gehe ich so vor:

>>e^lim((1/x)ln(cos(2x)
>>  x-->0
Minus vergessen

>>so und dann so:
>>lim((1/x)ln(cos(2x)= [unendl.|1]=
>>x-->0                        ^
                           was bedeutet das?

>>lim(1/(cos(2x) * -2sin(2x))
>>x-->0
brauchst nicht ableiten, hab nicht richtig gelesen.

Die andere Grenzwert aufgabe weiss ich gar nicht, sowie das totale
differential.
>> Totales Differential: partiell nach allen Variablen (nacheinander!)
ableiten, dabei immer die anderen Variablen als Konstanten betrachten.
Die andere Grenzwertaufgabe geht genauso. (gibt sicher auch noch andere
Wege)

Pete

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Hmmm...danke mal Pete!

Ok die Grenzwert Aufgabe habe ich jetzt gelöst bekommen
Es kommt 1 heraus.

Die anderen da muss ich echt passen. Keine Ahnung wie ich da vorgehen
kann.

Autor: Unbekannter (Gast)
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Naja, eigentlich musst Du die Hausaufgaben ja selbst machen, aber weil
Weihnachten ist, und Du offensichtlich nicht fähig bist, irgend ein CAS
zu installieren und zu verwenden.

Naja, langer Rede kurzer Sinn: Entweder verrechnest du Dich, oder das
CAS verrechnet sich. Ich traue aber dem CAS mehr zu:


(%i1) (%e^(-3*x)-1)^2/x^2;

                                   - 3 x     2
                                (%e      - 1)
(%o1)                           --------------
                                       2
                                      x
(%i2) limit(%, x, 0);

(%o2)                                  9


Und:


(%i3) (cos(2*x))^(-1/x);

                                       1
(%o3)                             -----------
                                          1/x
                                  cos(2 x)

(%i4) limit(%, x, 0);

(%o4)                                  1


Von Hand zu rechnen bin ich zu faul...

Autor: Patric (Gast)
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Was hat die Bedienung eines CAS mit Mathematik zu tun? Wenn er beim
Lösungsweg Probleme hat hilft ihm das Endergebnis auch nichts.

Die Grenzwertaufgaben gehen doch fast alle nach dem gleichen Schema:

lim (exp(-3x)-1)^2/x^2
x->0

-> l'Hopital anweden

= lim -3*exp(-3x)*(exp(-3x)-1)/x
  x->0
= -3 lim exp(-3x) * lim (exp(-3x)-1)/x
     x->0           x->0

-> fuer den 2. Grenzwert nochmal l'Hopital

= -3 e^0 * lim -3*exp(-3x) = 9 lim exp(-3x) = 9
           x->0                x->0

Diesen Grenzwert könnte man evtl. auch lösen indem man die e-Funktion
als Potenzreihe schreibt und dann kürzt. Hab ich aber nicht getestet.

Für das totale Differential musst du folgende Ausdrücke bilden:

f(x,y) -> dt = df/dx*dx + df/dy*dy

f(x,y,z) -> dt = df/dx*dx + df/dy*dy + df/dz*dz

Also einfach nur partiell Differenzieren.

HTH

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Hallo Patric,

ich verstehe da nicht wie du zu dieser Lösung kommst?

lim (exp(-3x)-1)^2/x^2
x->0

-> l'Hopital anweden

= lim -3*exp(-3x)*(exp(-3x)-1)/x
  x->0
= -3 lim exp(-3x) * lim (exp(-3x)-1)/x
     x->0           x->0

-> fuer den 2. Grenzwert nochmal l'Hopital

= -3 e^0 * lim -3*exp(-3x) = 9 lim exp(-3x) = 9
           x->0                x->0

Wo ist da das QUADRAT geblieben?

Danke für den Lösungsansatz für das totale Differantial!
Wie wende ich dies hier an?

f(x,y) = arctan(x/y)

f(x,y,z) y * e ^(xy/z)

Autor: Patric (Gast)
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Das ist halt einfach die l'Hopital Regel.

http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%27Hospital

Zähler: d/dx((exp(-3x)-1)^2) = -6 * (exp(-3x)-1) * exp(-3x)

Nenner: d/dx(x^2) = 2*x

Zähler/Nenner = (-6 * exp((-3x)-1) * exp(-3x))/(2*x)

Davon kann man den Grenzwert jetzt zumindest teilweise bilden:

lim -3*exp(-3x) = -3
x->0

Fur den Rest (exp(-3x)-1)/x wendet man nochmal l'Hopital an.

Zähler: d/dx(exp(-3x)-1) = -3*exp(-3x)
Nenner: d/dx(x) = 1

lim -3*exp(-3x) = -3
x-> 0

-3*-3 = 9

Fertig!

Um das totale Differential zu berechnen musst du die partiellen
Ableitungen der Funktionen nach allen Variablen bilden und dann in die
Formel einsetzen, die ich dir gegeben habe. Mach das halt mal.

Autor: F. Keilbach (Gast)
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In dem Matheskript habe ich eine weitere Aufgabe entdeckt die ich nicht
gelöst bekomme.

Integral[x^3/(Wurzel(1+x^2))]

als erstes habe ich mal substituiert:

t=Wurzel(1+x^2) aber da bekomme ich nichts gescheites heraus.

Hmm....

Autor: Unbekannter (Gast)
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Auch für Dich schreibe ich es zwei mal: Weihnachten ist vorbei. Du musst
nun Deine Hausaufgaben selber machen.

Übrigens ist es ziemlich sinnentleert und unfreundlich, solche Fragen
in zwei Threads zu stellen.

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