kommt heute mein 8jähriger mit einer Aufgabe aus der Knobelstunde, da
musste ich passen. Sind oft ganz schön knifflige Sachen dabei, aber
diesmal?
Sinngemäss: ein Münzautomat schluckt 1- und 2-Münzen. Gib an, wieviel
Möglichkeiten zur Bezahlung von 1-10 bestehen und versuche eine
allgemeine Lösung zu finden.
1 1 (1)
2 2 (11,2)
3 3 (111,12,21)
4 4 (1111,211,121,112,22)
5 8 (11111,2111,1211,1121,1112,122,212,221)
usw.
bis 8 habe ich den Spass noch mitgemacht, das wächst rel. schnell...
Aber ne allgemeine Lösung ist mir nicht eingefallen. Irgendwelche
Ideen?
Also ich würde sagen:
2x 1 = ein 2 stück
Also mußt du das ganze nur für den geraden, und den ungerade Fall
betrachten:
n = Anzahlder Gelstücke = [1, ... ,10]
Im geraden Falle hast du:
1 Möglichkeit wenn alle 1 sind.
n/2 weitere Möglichkeiten (man kann im Folgenden immer 2 ein euro
stücke zu enem zwei Euro stück zusammenfassen)
also n = 6, 1+(6/2) = 4 Möglichkeiten
111111, 11112, 1122, 222
Alle anderen kombinationen waren schon da.
Im Ungeraden Fall das gleiche nur das man immer eine 1 übrig behälst
n = 7, 1+(1-n)/2 = 4 Möglichkeiten
1111111, 111112, 11122, 122
Jezt hast du die anzahl der Möglichkeiten die auftreten ohne doppelte
zu haben.
Jezt mußt du noch die Anzahl der Vertauschungen ausrechnen (Wieviele
Möglichkeitengibt es n-Bücher unterschiedlich anzuordnen)
Das ergebnis also nur noch als Fakultät schreiben, wären bei 10 also
(1+5)! = 720 Mögliche bezahlmöglichkeiten ;)
Eigentlich mußt du noch was abziehen für die Anzahl derer dei doppelt
auftreten...
Aber so ähnlich müßte das gehen.
Ach ja ich würde davon ausgehen, das nur der erste Fall gemeint ist,
also wiviele Unterschiedliche Möglichkeiten es gibt, also die
Reihenfolge egal ist.
5x2 + 0x1
4x2 + 2x1
3x3 + 4x1
2x2 + 6x1
1x2 + 8x1
0x2 + 10x1
Ergo: je 2-Münze weniger -> zwei 1-Münzen mehr... werd ich jetzt für
den Nobelpreis nominiert? ;o)
ne ne, explizit ist verschiedene Reihenfolge mit gleichen Münzen eine
neue Möglichkeit, 1112!=1211. Das ist ja mein Hauptproblem.
Meiner Meinung nach deutlich zu viel verlangt für 3.Klasse, zwar
Spezialförderunterricht, aber trotzdem. Vor allem sollen sie es ja
eigentlich allein hinbekommen, das halte ich für ziemlich unmöglich.
Aber ich will es jetzt wissen!
also 1111 != 1111 ?
Ansosnten ist das halt einfach ne Ausprobieraufgabe denke ich.
Man stellt für den Fall alle Möglichkeiten auf, und erstellt dan alle
möglichkeiten die man noch nicht hatte.
Die Frage ist es wie viele möglichkeiten gibt es um mit 1 und 2
stücken Beträge von 1 - 10 zu bilden?
Also unter der Vorraussetzung, dass die Reihenfloge der Münzeinwürfe
sind egal.
Also ich hätte da ne Idee:
Man kann immer einen anderen weg gehen, einmal die erste Zeile, dann
erst unten die erste Klammer und dann oben weiter, und dann erst unten
zwei klammern und denn nach oben... bis zur n-ten Klammer unter bleiben
und dann oben weiter.
Betrag : Münzen : Möglichkeiten
1 :1 : 1
2 :1+1 : 2
( 2 )
3 :1+1 +1 : 2
(2)
4 :1+1+1+1 : 3
(2) (2)
5 :1+1+1+1+1 : 3
(2) (2)
6 :1+1+1+1+1+1 : 4
(2) (2) (2)
7 :1+1+1+1+1+1+1 : 4
(2) (2) (2)
8 :1+1+1+1+1+1+1+1 : 5
(2) (2) (2) (2)
9 :1+1+1+1+1+1+1+1+1 : 5
(2) (2) (2)
10 :1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 : 6
(2) (2) (2) (2) (2)
Aso immer wenn eine gerade Zahl dazu kommt erhöt sich die Möglichkeit
dis mit 1 und 2 Münzen zu basten um eine Möglichkeit. Und ich denk
damit könnte man eine Regel machen.
Gesammtanzahl = 35 =(1+2*(2+3+4+5)+6)
Naja ist nur so eine Idee.. obs hilft weiß ich nicht.
Gruß Marc
1: 1
2: 11 2
3: 111 12
4: 1111 112 22
5: 11111 1112 122
6: 111111 11112 1122 222
7: 1111111 11122 1222
8: 11111111 111122 11222 2222
9: 111111111 111222 12222
10: 1111111111 1111222 112222 22222
Die rechte und die Linke Pyramide kann man ja nicht ändern ohne was
doppelt zu haben.
Dann muß man nurnoch von den Mittleren die möglichkeiten von nicht
doppelten erstellen, also immer eine Zahl durchwandern lassen.
Was ich mir vorstellen kann: Es gibt ne ganz einfach Lösung und man
denkt viel zu kompliziert ;)
einmal schreib ichs noch :-)
Das Problem ist, dass für z.B. 4 folgende 5 Möglichkeiten bestehen:
1111
211
121
112
22
wobei Fall 2,3 und 4 NICHT als gleichwertig zu betrachten sind. Es gibt
also für 4 5 Lösungen und nicht nur 3. Und genau da besteht mein
Problem, die unterschiedlich möglichen Kombinationen allgemein zu
fassen.
Wenn man einfach die 2-Stücke nach rechts schreibt werden doch alle
ähnlichen gleich oder nicht? Also bei mir sind die ganzen gleichen
raus.
Ich hab einfach mit nur-1-Stücken angefangen und dann immer 2 davon
weg und ein 2-Stück dazu bis weniger als zwei 1-Stücke da sind.
Hier mein Vorschlag:
231 Möglichkeiten zu bezahlen.
Und allgemein:
1 Mögl. für eine 1 Euro,
2 Mögl. für 2 Euro,
3 Mögl. für 3 Euro,
5 Mögl. für 4 Euro,
8 Mögl. für 5 Euro,
13 Mögl. für 6 Euro,
21 Mögl. für 7 Euro,
34 Mögl. für 8 Euro,
55 für 9 Euro
und
83 für 10 Euro also gilt:
Immer die Anzahl der Möglichkeiten der beiden letzten Euro Beträge
addieren um die Möglichkeiten der nächsten Reihe zu erhalten. Diese
aufsummieren um die Gesamtzahl zu erhalten.
:-)
Das ist es! Manchmal hat man doch ein Brett vor dem Kopf.
@läubi:
"Was ich mir vorstellen kann: Es gibt ne ganz einfach Lösung und man
denkt viel zu kompliziert ;)"
Damit hattest du wohl recht! Eigentlich eine simple Bildungsvorschrift,
das können auch 8jährige können.
Besten Dank für die rege Beteiligung.
Schon okay, das sind offenbar die Fibonacci-Zahlen, aber der Tüftler
liefert keine Begründung, und mir fällt beim besten Willen auch nichts
ein. Und ein 8-jähriger? !
In Momenten wie diesen verstärkt sich das Gefühl, es werde Zeit,
einfach friedlich abzutauchen.
@crazy horse: Sag mal, was ist das denn für eine Spezialschule auf die
du deinen Sohn geschickt hast? Soll der mal eine Art Superspion, wie
unser James Blond, werden?
Aber die Lösung mit den Fibonacci-Zahlen klingt gut und einleuchtent.
Ich denke auch das diese richtig ist.
nix Spezialschule, ganz normale Grundschule. Aber 2h in der Woche wird
für Interessierte die "Knobelstunde" angeboten, das macht ihm auch
Riesenspass. Der eigentliche Matheunterricht ist ihm meist langweilig,
weil zu einfach. Insofern finde ich das schon toll. Traurig wiederum:
aus 6 Klassen (je 3 dritte und vierte Klassen mit insgesamt 70
Schülern) haben am Anfang 11 mitgemacht, nach jetzt einem halben Jahr
sind es nur noch 6 :-(, ist ja freiwillig und zusätzlich und vermindert
Gameboy/Fernseh/Computerzeit. Die Lehrerin macht es zusätzlich ohne
Bezahlung mit viel Engagement.
Die meisten Eltern sehen es sogar eher negativ, sie "erwarteten schon,
dass ihr Kind in der regulären Schulzeit alles lerne". Ein weiteres
Beispiel dafür, wie kaputt dieses Land wirklich ist.
Sorry die 83 sollte eine 89 sein.
Und zur begründung:
Hab mir die ersten 7 Reihen angeschaut festgestellt das die Fibonacci
Reihe passt und mir überlegt das die Aufgabe für eine dritte Klasse ist
und somit auch eine einigermaßen Einfache Lösungen zu finden sein
müsste. Einen Beweis hab ich leider nicht. Ich glaube das dieser auch
etwas Komplizierter werden könnte. (Ist ein Beweis den von Interesse?)
@crazy horse:
Also ich finde diese Sache auch gut...hätte ich auch gerne früher in
der Schule gemacht aber leider gab es solch ein Angebot nicht :(. naja
ich habs trotzdem überlebt.
Die Sache mit den anderen Eltern finde ich auch ziemlich bescheuert.
Warum will man denn seinem Kind Wissen vorenthalten, obwohl es dieses
kostenlos bekommen könnte? Es kann doch nicht sein, dass diese Eltern
es besser finden, wenn ihr Kind nach der Schule mit dem PC (Fernseher,
GameBoy etc.) oder sonstwas spielt anstatt !freiwillig! sein Gehirn
anzustrengen und vielleicht dadurch noch etwas entscheidenes lernt?
Da muss ich dir vollkommen zustimmen, das man daran mal wieder sieht,
wie kaputt dieses Land ist.
In diesem Sinne
Gruß Marian
Wie man da auf Fibonacci kommt?
Naja, das ist doch ganz einfach: Teile und hersche!
Die Zahl, z.B. 10, können wir als Kette aus Euro-Stücken darstellen.
Naja, also wir haben grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
Wir können die Kette mit einem 1-Euro-Stück, oder einem 2-Euro-Stück
beginnen:
a.) 1 + 1+1+1+1+1+1+1+1+1 (1 Euro + 9 * 1 Euro)
b.) 2 + 1+1+1+1+1+1+1+1 (2 Euro + 8 * 1 Euro)
Naja, das war's im Prinzip schon.
Die beiden Grundmöglichkeiten a und b haben natürlich immer mehrer
Möglichkeiten. Und zwar besteht die Möglichkeit a aus den Möglichkeiten
für 10-1=9 Stück Ein-Euro-Stücke, und die Möglichkeit b besteht aus den
Möglichkeiten für 10-2=8 Stück Ein-Euro-Stücke.
Um die Gesamtsumme der Möglichkeiten zu erhalten, müssen wir also die
beiden Möglichkeiten addieren:
möglichkeiten(n) = möglichkeiten(n-1) + möglichkeiten(n-2)
Da kommt ein Dreijähriger schon drauf, wenn er Anfängt jedesmal die
Möglichkeiten mit 2-Euro-Stücken durchzuprobieren und feststellt, dass
er genau das gleich schon mal vorher gezählt hat.
Ging mir genau so, als ich nach eine Begründung/Erklärung für Fibonacci
gesucht habe.
an Tüftler
Natürlich ist der Beweis wichtig, sonst macht man sich selbst (und
anderen) etwas vor, a la 'Die ersten 7 Börsendeals haben Geld
gebracht, wird's der achte wohl auch tun', es bliebe eine Art
Taschenspielertrick.
Als Anregung für einen 8-jährigen? - weiss ich nicht, sicher besser als
die vorerwähnten sonstigen Freizeitbeschäftigungen, und die
Reihenerkennung in den so genannten Intelligenztests funktionieren ja
genau so.
Und wer weiß, vielleicht heißt crazy horse ja in Wirklichkeit Gauß.
Ach, ich meinte natürlich 8jähriger... Mit drei Jahren wäre das wirklich
zu früh... ;-)
Man kann das übrigens auch von der anderen Seit aufzäunen, also mit den
Möglichkeiten für 1 Euro und 2 Euro.
Oder man kann das 2 Euro-Stück an das Ende der Kette setzen. Geht
auch.
Man merkt aber schnell, dass man immer das gleiche zählt...
