Universelle Logikgatter

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Universelle Logikgatter
06. November 2015 von David Knight
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Einführung
Ein universelles Logikgatter ist ein Logikgatter, das verwendet werden 
kann, um alle anderen Logikgatter zu konstruieren. Es gibt viele Artikel 
über NAND und NOR als universelle Logikgatter, aber viele dieser Artikel 
lassen andere Gatter weg, die auch universelle Logikgatter sind. Dieser 
Artikel behandelt Zweieingangs-Logikgatter, demonstriert, dass das 
NAND-Gatter ein universelles Gatter ist und führt vor, wie andere Gatter 
als Universalgatter zur Konstruktion beliebiger Logikgatter verwendet 
werden können.
Zweieingangs-Logikgatter
Für 2 logische Eingänge gibt es 16 mögliche Logikgatter. Tabelle 1 
definiert die 16 Logikgatter, zeigt Logiksymbol, Verhalten in 
Symbollogik, den Namen, Anmerkungen.
Man ist am vertrautesten mit den wie folgt genannten: NAND, NOR, AND, 
OR, XOR. Tabelle 1 beinhaltet diese, als auch AND- und OR-Gatter mit 
entweder negiertem Eingang, Logik 0 und Logik 1 (welche nicht wirklich 
Logikgatter sind) und einigen Gattern, die nicht wirklich binär sind.

NAND-Gatter ist ein Universalgatter
NAND-Gatter können so verbunden werden, dass sie jedes andere 
Logikgatter bilden können. Abbildungen 1, 2, 3 zeigen, wie NAND-Gatter 
zur Formierung von INVERTER-, AND- und OR-Gattern verbunden werden 
können. Diese Gatter können kombiniert werden, um die anderen 
Logikgatter nach der symbolischen Logikdefinition in Tabelle 1 zu 
bilden.




Abbildung 1: Verbinde ein NAND-Gatter um ein INVERTER-Gatter zu 
erstellen.



Abbildung 2: Verbinde NAND-Gatter um ein AND-Gatter zu erstellen.



Abbildung 3: Verbinde NAND-Gatter um ein OR-Gatter zu erstellen.

Andere Universalgatter
Gatter 2, 4, 11 und 13 sind Universalgatter. Um das zu beweisen, führen 
wir vor, wie NAND-Gatter mit diesen Gattern gebaut werden. Gatter 7 und 
8 sind das gleiche Gatter nur mit verschiedenen Eingängen invertiert. 
Gatter 9 und 10 sind das gleiche Gatter nur mit verschiedenen Eingängen 
invertiert. Zu beweisen, dass Gatter 2 und 11 universell sind, ist 
ausreichend um zu beweisen, dass Gatter 4 und 13 auch universell sind.
Gatter 11: A | ~B
Abbildungen 4 und 5 zeigen, dass Gatter 11 zu einem INVERTER-Gatter und 
AND-Gatter kombiniert werden kann. INVERTER- und AND-Gatter können in 
Reihe geschaltet werden, um ein NAND-Gatter zu konstruieren. Da Gatter 
11 zur Konstruktion eines NAND-Gatters verwendet werden kann und ein 
NAND-Gatter ein Universalgatter darstellt, ist Gatter 11 ein 
Universalgatter. Da Gatter 11 und 13 Spiegelungen voneinander sind, ist 
Gatter 13 auch Universalgatter.


Abbildung 4: Verbinde Gatter 11 (A |~B) um ein INVERTER-Gatter zu 
erstellen.



Abbildung 5: Verbinde Gatter 11 (A |~B) um ein AND-Gatter zu erstellen. 
Es mag Wege geben, dies mit weniger Gattern zu tun. Die Abbildung hier 
ist eine, die vom Autor am schnellsten abgeleitet werden konnte.

Gatter 2: A & ~B
Abbildungen 6 und 7 zeigen, dass Gatter 2 zu einem INVERTER-Gatter und 
AND-Gatter kombiniert werden kann. INVERTER- und AND-Gatter können in 
Reihe geschaltet werden, um ein NAND-Gatter zu konstruieren. Da Gatter 2 
zur Konstruktion eines NAND-Gatters verwendet werden kann und ein 
NAND-Gatter ein Universalgatter darstellt, ist Gatter 2 ein 
Universalgatter. Da Gatter 2 und 4 Spiegelungen voneinander sind, ist 
Gatter 4 auch Universalgatter.


Abbildung 6: Verbinde Gatter 2 (A &~B) um ein INVERTER-Gatter zu 
erstellen.



Abbildung 7: Verbinde Gatter 2 (A &~B) um ein AND-Gatter zu erstellen.

Fazit
Dieser Artikel besprach Logikgatter, Universalgatter, demonstrierte, 
dass das NAND-Gatter ein Universalgatter ist und hat bewiesen, dass vier 
zusätzliche universelle Logikgatter existieren. Dies ist eine 
interessante akademische Übung. In der Praxis würde der Autor empfehlen, 
weiterhin NAND-Gatter als Universalgatter zu verwenden, weil sie billig 
und klein konstruiert werden können oder falls man sich auf Ebene von 
Leiterplattenentwürfen bewegt, dass Chips mit tatsächlich gewollten 
Gattern verwendet werden und keine Universalgatter.