Zeitkontinuierlich in Zeitdiskret Umwandeln

[J.Belfort (Gast)]

Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem bei einer meiner Übungen.

Und zwar sollte ich das Signal


x[n] = sin( (2*pi*n) / M)

mit einer Samplingfrequenz von 16kHz und einer Dauer von 2 Sekunden 
erzeugen.
Dabei soll ich herausfinden wie M gewählt werden muss, um ein 
Sinussignal von 640Hz zu erhalten.

Ich habe jetzt das Problem, dass ich nicht auf den Wert von M komme - er 
muss ganzzahlig und >0 sein.
M stellt dann quasi die Periodendauer des zeitdiskreten Signals x[n] 
dar.
Nur wie komme ich jetzt von der Zeitkontinuierlichen Periodendauer T = 
1/640Hz auf die Zeitdiskrete Periodendauer?

Ich versuche mich schon seit 2 Tagen daran - scheitere aber immer.

LG J

[Felix Adam (Gast)]

16.000 Stützstellen pro 1s bei 640Hz macht M zu 25. Oder übersehe ich 
hier was?

[J.Belfort (Gast)]

Hallo!
Ja das könnte sogar richtig sein :D

Wie genau hast du das berechnet bzw. welchen Gedankengang brauche ich 
dazu?

Ich hab da irgendwo einen echt groben Denkfehler!

[Felix Adam (Gast)]

sin (2 * pi) ist eine Periode. Du vrauchst 640 Perioden in einer 
Sekunde.

Daraus folgt:
sin ((2  pi  n) / M) = ((2 * pi) * n / M) = ((2 * pi) * n / 25)

Und daraus dann bei 16.000 (nach einer Sekunde):
16.000 / M = 640 -> 16.000 / 640 = M

[Felix Adam (Gast)]

Das "Daraus folgt:" enthält blöderweise die 25, die ich ausgerechnet 
habe. Ignoriere diesen hinteren Teil.

Entscheidend ist die letzte Zeile.

[J.Belfort (Gast)]

Danke! Ich glaube ich habe es verstanden!

Liege ich dann richtig mit der Annahme, dass das "n" in sin(2*pi*(n/M)) 
die Samplingfrequenz darstellt?

Und die Samplingfrequenz im zeitdiskreten-Fall muss dann der Frequenz im 
zeitkontinuierlichen-Fall entsprechen? Nachdem hierbei aber nicht nur 
"n" sondern "n/M" enthalten ist können wir uns M berechnen.

Stellt M dann die Periodendauer dar?
Gerade etwas schwierig nachzuvollziehen , entschuldige.

LG Thorsten

[Felix Adam (Gast)]

Das "n" gibt die "diskreten Punkte" an. Diese läuft hoch von z. B.
0 bis 2*16.000 - 1  oder 1 bis 2 * 16.000
Darüber erfolgt das Diskretisieren des Sinus. Also quasi eine 
Zählvariable.

Somit ist n NICHT die Samplingfrequenz.

Aber aus der Information Abtastung mit 16kHz kannst du direkt auf die 
Anzahl der diskreten Punkte schließen. 16kHz = 16.000 je Sekunde = 
16.000 Stützstellen.

Das Verhältnis n / M sorgt jetzt dafür, dass nicht bei jedem n der 
Nullpunkt (sin(2 pi) = 0) ausgegeben wird, sondern immer alle 25 * n.

Soweit besser verständlich?

[Felix Adam (Gast)]

Nachtrag:

M ist hier gewissermaßen die Periodendauer. alle n = 25 wird der 
Nullpunkt bei sin((2*pi)*n/25) erreicht.

[J.Belfort (Gast)]

Warum läuft n von 0 bis (2*16.000Hz - 1) hoch und nicht nur von 0 bis 
16.000Hz?

Das mit dem Verhältnis und der Periodendauer M verstehe ich Danke!

Heißt das dann das ich 16.000 Mal pro Sekunde abtaste, was 16.000 
Stützstellen innerhalb einer Periode sind? Innerhalb einer Periode nur 
dann wenn die Frequenz 1 Hz beträgt oder?

[Felix Adam (Gast)]

16kHz = 16.000 Abtastungen.
Von 0 bis 15.999 sind 16.000 Abtastungen. Die Null zählt als Stelle ja 
mit.
Aber einfacher verständlich ist von 1 bis 16.000, was auch 16.000 
Stützstellen sind.
Ich merkte das an, weil manche Programme bei 0 anfangen und andere bei 
1.

Ja zu deiner letzten Aussage. Bei 1Hz Sinussignal benötigt man 16.000 
Abtastungen (=16kHz) zum Durchlaufen einer ganzen Periode.

Schöne Ostern.

[J.Belfort (Gast)]

Vielen Dank - wünsch dir ebenfalls schöne Ostern!