PN-Diagramm - Unverständnis - bitte um Hilfe

[Markus (Gast)]

Hi Leute!

Kann mir ggf. jemand beim angehängten PN-Diagramm helfen?

Die Herleitung der Übertragungsfunktion durch Ablesen der Pol- und 
Nullstellen ist mir klar.

Das System hat eine Nullstelle im Ursprung, eine Polstelle bei -1 und 
ein komplexes Polstellenpärchen bei j, bzw. -j.

Dies bedeutet für mich (bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege), 
dass das System zum einen schwingfähig ist (komplexes Polstellenpärchen) 
und dass es grenzstabil ist, da das Polstellenpärchen auf der Im-Achse 
liegt. Das System schwingt.

Die Nullstelle im Ursprung bewirkt eine konstante Phasendrehung von 
+90°. Der Abfall auf 0° kommt dann ja von der Polstelle bei -1.

Jetzt hakts aber bei mir. Ich weiß, dass das System mit einer Amplitude 
von 0,707 schwingt (also 1/Wurzel(2)), dieser Wert ist ja auch nicht 
unbekannt - es handelt sich um die 3dB-Frequenz. Aber woher kommt dieser 
Wert? Bewirkt die Polstelle bei -1 dies?

Weiterhin verstehe ich nicht so ganz, wieso das System dauerhaft 
weiterschwingt - hat die Polstelle bei -1 keinen Einfluss auf die 
Dämpfung?

Bezüglich der Phase laufe ich doch von rechts auf der Re-Achse nach 
links und starte mit den +90° wegen der Nullstelle und treffe dann auf 
die Polstelle die mir -90° addiert und somit zu 0 wird, oder? Hat das 
Polstellenpärchen keinen Einfluss auf die Phase?

Bezüglich der Amplitude läuft man doch von -jw hoch nach +jw, oder?

Wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Markus

[Markus (Gast)]

Ich seh grad, dass die Achsenbeschriftung bei der Phase falsch ist - 
hier muss natürlich log(w) hin und nicht phi. Sorry!

[Tobias P. (hubertus)]

>
> Jetzt hakts aber bei mir. Ich weiß, dass das System mit einer Amplitude
> von 0,707 schwingt (also 1/Wurzel(2)), dieser Wert ist ja auch nicht
> unbekannt - es handelt sich um die 3dB-Frequenz. Aber woher kommt dieser
> Wert? Bewirkt die Polstelle bei -1 dies?
>
> Weiterhin verstehe ich nicht so ganz, wieso das System dauerhaft
> weiterschwingt - hat die Polstelle bei -1 keinen Einfluss auf die
> Dämpfung?
>
> Bezüglich der Phase laufe ich doch von rechts auf der Re-Achse nach
> links und starte mit den +90° wegen der Nullstelle und treffe dann auf
> die Polstelle die mir -90° addiert und somit zu 0 wird, oder? Hat das
> Polstellenpärchen keinen Einfluss auf die Phase?
>
> Bezüglich der Amplitude läuft man doch von -jw hoch nach +jw, oder?

Du kannst von deiner Übertragungsfunktion eine Partialbruchzerlegung 
machen, dann siehst du, weshalb es weiter schwingt: die Polstelle bei -1 
bringt einen Anteil, der exponentiell abklingt, aber das 
konjugiert-komplexe Polpaar hat verschwindenden Realteil, weshalb 
dessen Anteil an der gesamten Systemantwort auch nicht abklingt. Die 
Amplitude, mit der es schwingt, folgt dann ebenfalls aus der 
Partialbruchzerlegung :-)

Und man läuft immer auf der imaginären Achse von 0 bis unendlich, denn 
wir interessieren uns nur für die positiven Frequenzen.

[PN Plan (Gast)]

Hallo,

ist das mit der Amplitude von 0,707 eine Vorgabe oder hast Du das 
erhalten. Der Grund der Frage ist, dass der Pol-Nullstellen Plan die 
Übertragungsfunktion nicht vollständig beschreibt*, sondern nur bis auf 
einen unbekannten konstanten Faktor. Die Übertragungsfunktion ist daher 
aus dem PN Plan:

$$K\cdot\frac{s}{(s+1)\cdot(s^2+1)}$$

.

Das heißt falls das Schwingen mit 0,707 eine Vorgabe (der Aufgabe?) ist, 
dann kannst Du damit den unbekannten Faktor K bestimmen.

Gruß PN Plan