Fourier Analyse

[Felix S. (Gast)]

Guten Abend,

ich beschäftige mich gerade mit der Fourieranalyse und habe eine 
konkrete Frage, die ich mir leider irgendwie nicht selbst beantworten 
kann.

((Als Beispiel möchte ich eine Funktion benutzen, die von 0 bis a*T den 
Wert U1 hat und von a*T bis T den Wert -U2.))

Darauf folgt die Gleichung:

$${{c_\nu = \frac{1}{T} \left( U_1 \int_{0}^{aT} e^{-j\nu \omega t} dt - U_2 \int_{aT}^{T} e^{-j\nu \omega t} dt \right)}}$$

__________

Wann genau ersetze ich die Integrationsvariable dt durch dwt (bzw. 
dw_1t?) und wann setze ich w = 1? Nur wenn T = 2*pi (da w = 2*pi*1/T)?

Irgendwie habe ich es bislang immer ganz halbherzig gemacht und es auf 
mysteriöse Art verschwinden lassen, aber jetzt würde ich es gerne 
verstehen.

Bestimmt ist die Frage total doof, aber von selbst komme ich da nicht 
drauf.


(Warum wird der Latex-Code nicht angezeigt, obwohl er in [math]-Tags 
gesetzt wurde?):
c_\nu  = \frac{1}{T} \left(  U_1 \int_{0}^{aT}  e^{-j\nu \omega t} dt 
- U_2 \int_{aT}^{T}  e^{-j\nu \omega t} dt     \right)

Beste Grüße
Felix

[Sven B. (scummos)]

Schau dir nochmal lineare Substitution an. Das ist einfach eine lineare 
Substitution mit y := wt.

[Helmut S. (helmuts)]

Ersetze w durch w1. w1 ist die Kreisfrequenz der 1. Harmonischen.

w = w1
w1 = 2*pi*f1
w1 = 2*pi/T

Zusammenfassung:
w ersetzen durch 2*pi/T


Das dt bleibt dt!

[Felix S. (Gast)]

Danke für die Antworten.

Also sieht es im Endeffekt dann so aus?

$$c_\nu = \frac{1}{T} \left( U_1 \int_{0}^{aT} e^{-j\nu \omega t} dt - U_2 \int_{aT}^{T} e^{-j\nu \omega t} dt \right)$$

$$= \frac{1}{T}\left( U_1 \begin{bmatrix}\frac{-e^{-j\nu\omega t}}{-j\nu\omega} \end{bmatrix}_{t = 0}^{t=\alpha T} - U_2 \begin{bmatrix}\frac{-e^{-j\nu\omega t}}{-j\nu\omega} \end{bmatrix}_{t = \alpha T}^{t= T}\right)$$

mit

$$e^{-j\nu 2\pi} = 1$$

und

$$e^{-j\nu 2\pi\alpha} = e^{-j\alpha}$$

$$= \frac{1}{T} \left(\frac{1-e^{-j \alpha}}{j\nu\omega} \right)(U_1 + U_2)$$

Passt meine Rechnung? Ich habe w = 2pi/T gesetzt, wodurch sich die T's 
rausgekürzt haben.

Danke!

[Helmut S. (helmuts)]

Da steht ja im Nenner immer noch ein w. Ersetze das durch 2*pi/T.

2*pi*((1 -e^(-j*a))/(j*n))*(U1+U2)

Ob das Ergebnis generell stimmt habe ich nicht nachgeprüft. Am besten du 
uberprüfst das mit publizierten Ergebnissen an dem Sonderfall U1=U2 und 
a=1/2.

[Felix S. (Gast)]

> Da steht ja im Nenner immer noch ein w. Ersetze das durch 2*pi/T.

:S Hoppla.

Werde ich machen. Danke für die Hilfe!