Filterberechnung - Frage zur Herleitung

[Holger K. (holgerkraehe)]

Hallo zusammen

Ich habe das angehängte Bild zur Hand.
Ich frage mich, wie ich von der obigen Übertragungsfunktion auf die 
unteren beiden Gleichungen kommen kann.

Kann mir jemand helfen bzw. einen Tipp geben?

Vielen Dank

[Jürgen W. (Firma: MED-EL GmbH) (wissenwasserj)]

s durch 'j*w' ersetzen (entsprechend s²=-w²!), |G(jw)| = 1/sqrt(2) 
setzen und dann umformen, umformen, umformen ....

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Die zweitunterste Gleichung gibt die Frequenz an, für die die
Phasenverschiebung 90°, d.h. die Übertragungsfunktion rein imaginär
wird. Vorsicht: Das ist i.Allg. nicht die 3dB-Grenzfrequenz.

Die unterste Gleichung scheint ziemlich vermurkst zu sein. Wie bei der
Gleichung davor wurde von Hand darin herumgekritzelt, um sie an die
Bauteilnamen im Schaltplan anzupassen. Dabei wurde aber zweimal
vergessen, C2 durch C3 zu ersetzen. Vermutlich sollten auch R2 und R4
vertauscht werden, denn dann steht auf der rechten Seite der
Filterparameter b1, und √2=b1 ist die Bedingung dafür, dass es sich bei
dem Filter um einen Buttworth- Typ handelt (bei dem übrigens die 90°-
mit der 3dB-Grenzfrequenz zusamenfällt).

Die Aufgabenstellung, die du nicht gepostet hast, könnte also heißen:
In welcher Beziehung müssen die Rs und Cs zueinander stehen, damit der
Sallen-Key-Hochpass Buttworth-Eigenschaften hat.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Vielen Dank für eure Antworten.

Zur Aufgabenstellung:
Die Aufgabe war es, die unteren Funktionen nach zwei unbekannten 
aufzulösen.
So dass man die Komponenten für eine bestimmte Grenzfrequenz, in diesem 
Fall 40Hz, berechnen kann.

Die Kondensatoren wurden z.B, angenommen. Danach die Widerstände 
berechnet.
Die beiden Gleichungen wurden gegeben. Ohne Hinweise oder sonstige 
Informationen.

Deshalb meine Frage nach der Herleitung.

Danke

[Helmut S. (helmuts)]

> Deshalb meine Frage nach der Herleitung.

Die haben die Güte Qp hingeschrieben und gleich Wurzel(2) gesetzt damit 
man einen Hochpass mit Butterworth-Charakteristik erhält. Das bedeutet 
maximal flacher Frequenzgang.

Es gibt keinen C2 sondern der muss C3 heißen und der zweite Term im 
Zähler passt schon gar nicht. Ich habe den Verdacht, dass du diese 
Formel aus einer anderen Schaltung kopiert hast. Überhaupt ist es eine 
sinnlose Bezeichnung der Bauteile. Vernünftig wären die Bezeichner R1, 
R2, C1 und C2.

wp = 1/sqrt(R2*R4*C1*C3)

1/Qp = (R4*(C1+C3)+R4*C3*(1-A)) / sqrt(R2*R4*C1*C3)

Butterworth: Qp=1/sqrt(2)

sqrt(2) = (R4*(C1+C3)+R4*C3*(1-A)) / sqrt(R2*R4*C1*C3)
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Die Grenzfrequent wg bzw. fg möchte man ja vorgeben.

A/sqrt(2) = |F(wg)|
-------------------
Für die Dimensionierung muss man diese beiden Formeln erfüllen.
Die -3dB Grenzfrequenz wg ist bei Qp=1/sqrt(2) exakt bei der Frequenz 
wp. Bei allen anderen Qps aber nicht.


Wenn man jetzt die Bauteileauswahl sinnvoll wählt, dann kan man das mit 
einfachem Aufwand berechnen.

C1=C2=C
A = 1

R2 = 1/(wp*C*2*Qp)

R4 = 4*R2*Qp^2

Qp=1/sqrt(2) (Butterworth) --> Damit wird wg=wp!

R2 = sqrt(2)/(wg*C*2)
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R4 = 2*R2
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