Autokorrelationssequenz eines verrauschten Sinussignals

[Bastian N. (Firma: Student) (schafel)]

Schönen guten Tag zusammen.

Ich habe für die Uni eine Aufgabe zu lösen und zu präsentieren, bei der 
ich einfach nicht weiter komme. Zunächst gebe ich die Aufgabenstellung:

Ein Signal mit überlagertem weißem Rauschen der Form

$$x[n]=A\cos(\omega_0*n+\theta)+e[n]$$

mit

$$A \in R, \omega \in R.$$

Die Phasenverschiebung theta ist eine gleichverteilte Zufallsvariable im 
Bereich zwischen 0 und 2*\pi. Weiterhin wird angenommen, dass e[n] ein 
weißes Rauschen mit dem Mittelwert 0 und der Varianz (sigma_e)² ist.

a) Zeigen Sie, dass mit diesen Annahmen die Autokorrelationssequenz von 
x[n]

$$r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=\frac{ A^{ 2 } }{ 2 }\cos(\omega_0m)+\sigma_e^{2}\delta[m]$$

ist.

b) Zeigen Sie, dass mit den Ergebnissen aus a) das 
Leistungsdichtespektrum von x[n] im Frequenzbereich für eine Periode

$$P_x(\omega)=\frac{ A^{ 2 }\pi }{ 2 }[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]+\sigma_e^{2}, |\omega|\leq\pi$$

ist.



Ich beginne damit, dass ich für den Erwartungswert einsetze:

$$r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=E\{A^{2}\cos(\omega_0(n+m)+\theta)\cos(\omega_0n+\theta)\}$$

Nun hab ich das erste Problem. Ich kann entweder den Erwartungswert als 
Mittelwert des Signals berechnen:

$$E\{...\}=\frac{ 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi } A^{ 2 } \cos(\omega_0(n+m)+\theta)\cos(\omega_0n+\theta)d\theta$$

Hier bin ich mir vor allem mit dem Operator dtheta unsicher. Muss ich 
hier überhaupt über theta integrieren?
Ich könnte den Erwartungswert auch über die 
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen mit alpha = n:

$$E\{...\}= \int _{0}^{2\pi} \alpha f(\alpha)d\alpha$$

Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Cosinusfunktion aber 
gleich 0 ist, komme ich damit ja auch nicht weiter.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben 
könnte.

Viele Grüße und vielen Dank,
Bastian

[Purzel H. (hacky)]

Ziel ist ja zu zeigen oder anzuwenden, dass das Signal bei phasengenauem 
Integrieren linear mit der Anzahl der Samples waechst, das Rauschen nur 
mit der Wurzel der Samples.

[T.U.Darmstadt (Gast)]

Ein typisch akademisches Thema. Hat schon ein einziges mal jemand ein 
Rauschen gesehen, das so aussieht? In der Praxis bringt die doppelte 
Zahl der Integrationslänge nicht einmal 10%.