Mathe | Integral mit Partialbruchzerlegung (kürzen?)

[Bartosz B. (bartosz)]

Hallo,
bitte das Bild im Anhang anschauen.

Vielen Dank

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Die Stammfunktion

$$\frac{\ln(2+x)}{3} \ + \frac{2 \cdot \ln(x-1)}{3} \ -\frac{1}{x-1} \ +\mathrm{const}$$

ist richtig, egal, ob der Integrand

$$\frac{x^3-1}{(2+x)\cdot(x-1)^3}$$

aus Physik oder der Mathematik stammt. Dessen Zähler lässt sich 
faktorisieren in

$$(x-1) \cdot (x^2+x+1).$$

Davon ist der erste Faktor kürzbar mit einem der im Nenner. Der 
Integrand ist (unbestreitbar) identisch mit

$$\frac{x^2+x+1}{(2+x)\cdot(x-1)^2} \ = \ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2+x} \ \ +\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x-1} \ + \frac{1}{(x-1)^2},$$

rechts dargestellt in partialbruchzerlegter Form.

[Bartosz B. (bartosz)]

Ok, danke. Nur wenn ich in der langen Stammfunktion Werte für x einsetze 
und sie mit der Stammfunktion aus dem gekürzten Integranden vergleiche, 
dann erhalte ich andere Werte.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Falls der lange Weg darin besteht, den Integranden zuächst in

$$f_1(x) = \frac{x^3}{(2+x)\cdot(x-1)^3}$$

und

$$f_2(x) = -\frac{1}{(2+x)\cdot(x-1)^3}$$

zu zerlegen, folgen (jeweils nach Partialbruchzerlegung) die beiden Teil 
-Stammfunktionen

$$F_1(x) = \frac{8}{27} \cdot \ln(x+2) \ +\frac{19}{27} \cdot \ln(x-1) \ -\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{x-1} \ -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{(x-1)^2}$$

und

$$F_2(x) = \frac{1}{27} \cdot \ln(x+2) \ -\frac{1}{27} \cdot \ln(x-1) \ \ -\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{x-1} +\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{(x-1)^2}$$

 (hier Integrationskonstanten weggelassen).

Deren Summe ergibt gut verifizierbar wieder die zuerst genannte 
Stammfunktion.

[Bartosz B. (bartosz)]

Ja, jetzt sehe ich's auch. Danke dir :)