BMS als kleiner Laderegler

Grüß Gott an die Wissensgemeinschaft,

ich hahe hier eine dieser kleinen Solar-Powerbanks mit einem USB-Ausgang 
(spezifiziert bis 800 mA) geschenkt bekommen. Allerdings ist das Ding 
nicht wirklich brauchbar, denn auch nach Tagen kommt aus dem USB-Port 
nichts nennenswertes raus. Jetzt habe ich das Ding mal aufgemacht und 
selbst gemessen:
Die Solarzelle liefert bei ordentlicher Sonne ca. 200 mA bei 5V, am Akku 
messe ich 3.7V. Und ich glaube, daß genau das das Problem ist. Die 
Spannung steigt nicht. Selbst wenn ich die Powerbank mit einem Netzteil 
auflade (sie hat neben dem Ausgang auch einen USB-Ladeanschluss), bleibt 
diese Spannung über viele, viele Stunden konstant. Ich vermute fast, daß 
der eingebaute Regler schon bei 3.7V dicht macht.
Jetzt die Frage: Wenn ich der flachen Akkuzelle (steht nichts drauf 
außer "+", "-" und "LI-ION 2.600 mAh") eines dieser BMS spendiere (ebay 
Artikel 264141623526) und die Platine mit der Ladeelektronik der 
Powerbank einfach umgehe - kann ich damit den Akku gefahrlos laden? Über 
den Maximalstrom brauche ich mir bei der kleinen Solarzelle ja keine 
Gedanken machen, nehme ich an.
Oder gibt es tatsächlich Li-ION-Akkus, die nur bis maximal 3.7V geladen 
werden dürfen? Aber wenn es so wäre - warum ist die Powerbank dann immer 
leer?