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Forum: Offtopic Probleme mit DGL


Autor: Ferdinand (Gast)
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Guten Tag,

ich bin dabei eine Differentialgleichung zu lösen.
Und zwar ist das eine lineare Differentialgleichung.

Aufgabe:

y' - x*y = -2*y  ; y(0)=4

Ich bekomme in meiner Rechnung:

y(x) = C*e^((1/2)*x^2) + 2*e^(-(1/2)*x^2) --> allg. Lösung

Auf dem Aufgabenblatt wird diese Lösung angegeben:

y(x) = 2 + 2*e^((1/2)*x^2) --> allg. Lösung

Kann mir da jemand helfen?

Autor: methyl (Gast)
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Ich kann beide Lösungen nicht nachvollziehen. Ich zeig dir mal wie ich
es gerechnet habe:

y' - x*y = -2*y  ; y(0)=4
forme ich um zu:
y' + y (2-x) = 0
weiter zu:
y' = y (x-2)
und separiere die Variablen:
y'/y = (x-2)     bzw   (dy/dx)* 1/y = (x-2)
und bringe das dx auf die andere Seite und integriere:
Integral[ (1/y) dy] = Integral[ dx (x-2) ]
und erhalte:
ln(y) = 1/2*(x^2) - 2x
jetzt exponenntieren und mit der Integrationskonstante garnieren:
Die allgemeine Lösung:
y(x) = C * exp(1/2*x^2 - 2x)

mit der Anfangsbedingung y(0)=4 folgt daraus C=4 :
y(x) = 4 * exp(1/2*x^2 -2x)

Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet und es hilft ein bissl.

Autor: Ferdinand (Gast)
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Guten Abend methyl, danke!

Hab es jetzt verstanden.

Könntest du mir noch bei dieser Aufgabe helfen:

y' + 2*y = e^(3+x)  (linear)    ;   y(0)=2

Ergebnis vom Aufgabenblatt:

y(x)= 1/5(e^(3*x) + 9*e^(-2*x))

Autor: methyl (Gast)
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y' + 2*y = e^(3+x)  (linear)    ;   y(0)=2

Dieses Beispiel ist schon ein bisschen anspruchsvoller da es sich um
eine inhomogene DGL handelt. Um es zu lösen, löst man zuerst die
homogene Gleichung:
y' + 2 y = 0
mit dem gleichen Schema von vorhin(Separation der Variablen) erhalte
ich (ohne Gewähr):
y = C exp(-2x)

Die Lösung der inhomogenen (ursprünglichen) erfolgt dann mit der
"Variation der Konstanten". Dazu setzt man C nicht als Konstante an
sondern als Funktion von x. Also C(x):
y = C(x) exp(-2x)                     [1]
und leitet es ab:
y' = C' exp(-2x) - C exp(-2x)*2
und setzt es in die ursprüngliche Gleichung ein:
C' exp(-2x) - 2 C exp(-2x) + 2 C exp(-2x) = exp(3+x)
man sieht, dass sich die beiden mittleren Terme wegheben. Das ist immer
so und ist ein guter Test ob man sich bis hierher verrechnet hat. Also
wir haben bis jetzt:
C' exp(-2x) = exp(3+x)
und umformen:
C'=exp(3+3x)
Das können wir jetzt gemütlich integrieren:
C(x)= 1/3 * exp(3x+3) + d
d...Integrationskonstante!
Das setzen wir jetzt wieder in [1] ein:
y(x)= 1/3 exp(x+3) + d exp(-2x)

Mit den Anfangsbedingungen y(0)=2 folgt (bei mir) d = 2 - 1/3 exp(3)
und die Lösung:
y(x) = 1/3 exp(x+3) + 2 exp(-2x) - 1/3 exp(3-2x)

das ganze wie gesagt ohne Gewähr. Auch wenn das Ergebnis vielleicht
nicht richtig ist, zeigt es zumindest den Weg wie man vorgeht.

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