Hallo zusammen,
hier gibt es bestimmt den ein oder anderen Hobbymathematiker :)
Folgendes, laut meiner Formelsammlung (Korrespondenzen) zu Fourier,
lässt sich die Hutfunktion in folgende Fouriertransformierte wandeln:
(Sorry Latex kenne ich nicht, deswegen keine Syntax in dem Code).
Hutfunktion:
1 | f(t) = { 1 - |t|/T im Intervall |t| < T
|
2 | { 0 sonst
|
Ergibt sich zu der Fourier Transformierte:
1 | F(w) = T * sinc^2(w*T/2) |Sinc Funktion auflösen
|
2 | F(w) = 4 * T * sin^2(w*T/2) / w*T^2
|
Wenn ich nun aber jetzt die Berechnung der Fouriertransformierte manuell
mache, komme ich nicht auf die obige Formel, womit sich dann einige
Fragezeichen ergeben.
Hier mein Ansatz:
1 | F(w) = Integral (-∞ bis +∞) f(t) * e^(-jwt) dt
|
Bei der Hutfunktion handelt sich um eine Achssymmetrische, also Gerade
Funktion, somit kann ich folgende Vereinfachung treffen:
1 | F(w) = 2 * Integral (0 bis ∞) f(t) * cos(wt) dt
|
Grenzen und Funktion einsetzen (Das Wort Integral lasse ich mal weg):
1 | F(w) = 2 * I[(1 - |t|/T) * cos(wt)] dt
|
Klammer auflösen und Intregal aufteilen:
1 | I1=Integral, I2=Integral 2
|
2 | F(w) = 2 *I1[1 * cos(wt)] dt - 2 *I2[|t|/T * cos(wt)] dt
|
Da wir nur im Positiven der X-Achse sind, fallen die Betragsstriche weg
und wir vereinfachen die Integranden etwas:
1 | F(w) = 2*1 *I1[cos(wt)] dt - (2/T) *I2[t * cos(wt)] dt
|
Stammfunktion bilden:
1 | F(w) = 2 * [ 1/2w * sin(wt)] - (2/T) *[(w*t*sin(wt) + cos(wt)) / w^2]
|
Grenzen einsetzen und ausmultiplizieren:
1 | Fi1(w) = [(2/w)*sin(w*T) - (2/w)*sin(w*0)] = (2/w)*sin(w*T)
|
2 | -> (2/w)*sin(w*0) = 0, fällt also weg
|
3 |
|
4 | Fi2(w) = [((2/w^2*T)*w*T*sin(w*T) +
|
5 | (2/w^2*T)*cos(w*T)) - ((2/w^2*T)*w*0*sin(w*0) + (2/w^2*T)*cos(w*0)) ]
|
6 | -> (2/w^2*T)*w*0*sin(w*0) = 0, fällt also weg
|
7 | -> (2/w^2*T)*cos(w*0)) = 2/w^2*T, Der Cosinus von 0 ist immer 1
|
8 | -> ((2/w^2*T)*w*T*sin(w*T) = (2/w) * sin(w*T), w und T kürzen sich weg
|
Somit gilt für
1 |
|
2 | Fi2(w): (2/w)*sin(w*T) + (2/w^2*T)*cos(w*T) - (2/w^2*T)
|
Zusammen gilt dann wieder:
1 | F(w) = (2/w)*sin(w*T) - [(2/w)*sin(w*T) + (2/w^2*T)*cos(w*T) - (2/w^2*T)]
|
Minus überall reinziehen:
1 | F(w) = (2/w)*sin(w*T) - (2/w)*sin(w*T) - (2/w^2*T)*cos(w*T) + (2/w^2*T)
|
2 | -> (2/w)*sin(w*T) kürzt sich weg
|
Somit gilt dann:
1 | F(w) = - (2/w^2*T)*cos(w*T) + (2/w^2*T)
|
Noch umdrehen
1 | F(w) = (2/w^2*T) - (2/w^2*T)*cos(w*T)
|
2 | F(w) = 2 - 2*cos(w*T) / w^2*T
|
Jetzt sieht man direkt eines der Sinus/Cosinus Theoreme:
1 | 2-2*cos(2x) = 4(1/2-1/2cos(2x)) = 4*sin^2(x)
|
2 | (Ein paar kenne ich auswendig, wie z.B. das hier, da man damit irgendwelche Integrale mit sin^2 oder cos^2 dann schneller lösen kann)
|
Somit gilt:
1 | 2x = w*T -> x = w*T/2
|
2 | F(w) = 4*sin^2(w*T / 2) / w^2*T
|
Somit habe ich folgende Formel ermittelt
1 | F(w) = (4/w^2*T) * sin^2(w*T/2)
|
Jetzt ist aber laut meiner Formelsammlung, die Fourier Transformierte:
1 | F(w) = 4 * T * sin^2(w*T/2) / w*T^2
|
2 | bzw:
|
3 | F(w) = T * sinc^2(w*T/2)
|
Jetzt frage ich mich, wo ich unterwegs das T und die 4 verloren habe?!?
Habt ihr eine Idee??
Danke euch.
Edit 1:
Den Fall w=0 habe ich jetzt erstmal nicht mitbetrachtet, nur fyi.
Edit 2:
Die 4 habe ich gefunden, natürlich habe ich das Theoreme nicht richtig
angwendet und die 4 dort vergessen.
1 | 2-2cos(w*T)= 4*1/2(1-cos(w*T)) = 4 * sin^2(w*T/2)
|
Im Anhang auch meine Formelsammlung.
VG
Kalle
