Down/Upsampling Fourierraum

[Felix (katastrofelix)]

Hallo liebes Forum,

ich habe eine Frage zu Unterpunkt d) in den Anhängen. Ich habe alle 
anderen Unterpunkte auch hochgeladen, da das Beispiel aufbauend ist.

Bei Unterpunkt d) ist das zu untersuchende Signal gegeben mit

$$y_3[n] = y_1\left[\frac{n}{2}]\right$$

 (für (n) mod 2 = 0) und y_3[n] = 0 sonst.

durch den Hinweis (S 67 Mitte) kann man schreiben:

$$y_3[n] = \frac{1}{2} \left(y_1[\frac{n}{2}] + (-1)^n y_1[\frac{n}{2}]\right)$$

benutzt man die Exponentialfunktion, schreibt man:

$$y_3[n] = \frac{1}{2} \left(y_1[\frac{n}{2}] + \exp{j \pi n} y_1[\frac{n}{2}]\right)$$

die DTFT davon wäre dann:

$$Y_3(\exp{j \Theta'}) = \frac{1}{2} \left(Y_1\exp{j\frac{\Theta}{2}} + Y_1\exp{j\frac{\Theta}{2}- \pi}\right)$$

bzw. mit

$$\Theta' = \frac{\Theta}{2}$$

:

$$Y_3(\exp{j \Theta'}) = \frac{1}{2} \left(Y_1\exp{j\Theta'} + Y_1\exp{j\Theta'- \pi}\right)$$

Meine Frage: Wieso ist diese Funktion

$$\pi$$

-periodisch?

Der Plot müsste doch gleich aussehen wie bei Unterpunkt c), oder?

Vielen Dank für eure Hilfe und LG, Felix

[Papa Schlumpf (Gast)]

In welcher Formel auf welcher Seite ist das "π" erwähnt?

Für micht riecht es nach einem Effekt der fortgesetzten Kreisfunktion, 
hier repräsentiert durch die sich immer wieder fortsetzenden 
Spiegelfrequenzen.

[Nikolaus (Firma: Privat) (technicalkid)]

Hey,
hab das Beispiel auch schon durchgerechnet, im Endeffekt kannst du das 
ja jeweils als Oversampling sehen, du hast im neuen y alle werte vom 
alten drinnen, fügst aber inzwischen noch nullen ein. Wenn du y um den 
Faktor 2 über-abtastest sollte genau das rauskommen ;)

Bzw um konkret auf diene Frage einzugehen, zuvor war das Spektrum ja 2pi 
Periodisch (ist es nachher auch noch) und wenn du das um den Faktor 2 
überabtastest wodurch

$$\theta' = 0.5\cdot\theta$$

 hast du in der Periode doppelt so viele Frequenzanteile, dadurch 
halbiert sich die Periode dann effektiv.

LG

[A. F. (chefdesigner)]

Macht es eventuell Sinn, bei bestimmten Anwendungen interpolierte 
Zwischenwerte einzuführen, wie es bei der Bearbeitung im Zeitbereich 
passiert?