Reaktanz berechnen bei Parallelschaltung von R und C

[Marco S. (hochfrequenz)]

Hallo,

ich komme bei folgender Frage nicht weiter:
Es geht um L-Transformation.

Gegeben ist eine Spannungsquelle mit 1k Ohm Innenwiderstand. Diese soll 
an eine 50 Ohm Last mittels L-Transformation angepasst werden. Dies soll 
mittels C parallel und längs mit L erfolgen.

Warum das funktioniert (ideal für eine bestimmte Frequenz) habe ich 
mittels Zeigerfiagramm verstanden.
Wenn es jetzt mit komplexen Zahlen ans rechnen geht, versagt mein 
Können.

Wie ermittle ich Xc, wenn die 1k Ohm gegeben sind und die 
Parallelschaltung von R und Xc ein Zreal = von 50 Ohm haben.

Gerne nehme ich auch Hinweis auf einen online-Rechner der RLC Reihen- 
und Parallelschaltungen mit  Zahlen berechnet.

Grüße
Marco

[Marco S. (hochfrequenz)]

So sieht dann die L-Transformation aus. Xc = XL. Um eine konkrete Spule 
und Kondensatorgröße zu ermitteln, braucht man noch die Frequenz, bei 
der Anpassung herrschen soll.
Zuvor muss man aber das Xc ermitteln (wo ich eure Hilfe brauche)

[H. H. (hhinz)]

https://dl6gl.de/impedanzanpassung-mit-l-netzwerken.html

[Marco S. (hochfrequenz)]

Danke für den Hinweis auf die Homepage des Afu-Funkers. Ist es 
tatsächlich so kompliziert die Reaktanz von einem schnöden RC 
Parallelkreis zu berechnen?

Im Anhang 5 Seitenauszüge aus einem Buch, wo ich mich jetzt frage, ob 
die angegebenen Werte in dem Beispiel falsch sind (konkret +229 und 
-228).

Grüße
Marco

[Horst S. (Firma: Chaos Ltd) (hst)]

XC ist eben nicht gleich XL, da hier die Widerstände auf beiden Seiten 
einen Einfluss haben. Die Rechnung im Beispiel für f=1500kHz ist richtig 
- siehe Bild mit den Formeln. Der Link von Hhinz zeigt die allgemeine 
Methode.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Guten Tag
Da ist zwischen dem Generator mit Innenwiderstand R_1 = 1kΩ und der Last 
R_2 = 50Ω {, den beiden explizit als reell, Wirk-Widerstände gegebenen 
Grössen} dies Anpass -Netzwerk mit zunächst links der Kapazität C 
parallel und dann rechts der Induktivität L seriell.

Das 08.03.2025 18:31 von Marco zitierte Bild 4, Abb. 2-5, Fall b) mit 
{den gesuchten, gerundeten} X_C = -229Ω und X_L = 218Ω entspricht dem 
betrachteten Fall.
(Ausserdem ist da obendrein gar noch die Betriebs -Frequenz f = 1.5*10^6 
Hz angegeben, wodurch danach gar C und L selbst beziffert werden 
könnten.)

Es ist bereits gut zu wissen, dass {für die gegebene Frage} R_1 > R_2.

Auch die Ketten -Darstellung der 4-Pol-Theorie könnte eine Herleitung 
ermöglichen:

$$\begin{bmatrix}\underline{U}_1 \\ \underbrace{\underline{I}_1}_{\frac{\underline{U}_1}{R_1}} \end{bmatrix} \ = \ \overbrace{\begin{bmatrix}1 & 0\Omega \\ \mathrm{j}\cdot\omega\cdot C & 1 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix}1 & \mathrm{j}\cdot\omega\cdot L \\ 0 \mathrm{S} & 1 \end{bmatrix} }^{\begin{bmatrix}\overbrace{1}^{a_{11}} & \overbrace{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot L}^{a_{12}} \\ \underbrace{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot C}_{a_{21}} & \underbrace{1 - \omega^2 \cdot L \cdot C}_{a_{22}} \end{bmatrix}} \ \cdot \ \begin{bmatrix}\underline{U}_2 \\ \underbrace{\underline{I}_2}_{\frac{\underline{U}_2}{R_2}} \end{bmatrix}.$$

Wer die beiden darin enthaltenen komplexen Gleichungen dividiert 
{wodurch die ohnehin nicht bekannten Spannungen rausfallen}, erhält die 
{ebenso komplexe} Gleichung

$$R_1 \ = \ \frac{R_2 + \mathrm{j}\cdot\omega \cdot L}{1-\omega^2\cdot L \cdot C \ +\mathrm{j}\cdot\omega\cdot R_2 \cdot C},$$

 deren Imgainär -Teil nach der Suszeptanz

$$\underbrace{\overbrace{\omega \cdot C}^{-\frac{1}{X_C}}}_{B_C} \ = \ \frac{\overbrace{\omega \cdot L}^{X_L}}{R_2^2 \ + (\underbrace{\omega \cdot L}_{X_L})^2}$$

 umstellbar.

"Nanu, das ist aber garnicht, was wir wollten! Da is doch noch die 
andere Unbekannte drin!", wird der Kunde entrüstet scheltend, aber zu 
Recht bemängeln.
Nagut, dann setzt man dies nochmals {gerne auch in den Real-Teil der 
zuvor erwähnten, durch Division erhaltenen Gleichung} ein & erhält {aber 
ohne Mitternachts -Formel}

$$R_1 \ = \ \frac{R_2^1 \ + (\omega \cdot L)^2}{R_2} \ \ \Rightarrow \ \overbrace{\omega \cdot L}^{X_L} \ = \ \sqrt{R_2 \cdot (R_1-R_2)},$$

 endlich wenigstens eine der beiden gesuchten Reaktanzen.
Dies wiederum kann rückwärts eingepflanzt werden, um auch noch den 
geschlossenen Ausdruck für {die Suszeptanz}

$$\underbrace{\overbrace{\omega \cdot C}^{-\frac{1}{X_C}}}_{B_C} \ = \ \sqrt{\frac{1}{R_2}\cdot (\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1})}$$

 zu finden.

Wer da die gegebenen Werte für R_1 und R_2 {in die Ausdrücke} einsetzt & 
numerisch auswertet, erhält X_L = 217.944...Ω und sinngemäss X_C = 
-229.415...Ω; konsistent mit was zuvor gepostet wurde.

Das "Prinzip" bei "Aufgaben" solcherlei Art {mit 2 reellen Unbekannten} 
ist, so scheint mir bekannt, eine komplexe Gleichung zu finden & diese 
in Real -& Imaginär -Teil zu zerlegen. Dann hat man 1 Gleichungs -System 
mit 2 {reellen} Gleichungen und ebensovielen Unbekannten, also ein 
Lösungs -Paar.
Da kommt nicht beim ersten Schritt eine geschlossene Lösung raus.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Zitate:

° Meyer, I., DK3RED: Berechnungen von L-Gliedern. FUNKAMATEUR 60 (2011) 
H. 8, S. 851

° Graubner, N., DL1SNG: Transformation mit LC-Gliedern – Funktion von 
Antennenkopplern. FUNKAMATEUR 57 (2008) H. 3, S. 273-276.] (S. 273)

DL1SNGs Satz sitzt: „Das quer liegende Element liegt stets an der 
hochohmigeren Seite – das in Reihe
liegende zeigt zur niederohmigen Seite.“ <- trifft beim hier 
betrachteten Fall auch zu

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Korrektur zu  12.03.2025 18:17:
Es müsste

$$\omega \cdot C \ = \ \sqrt{\frac{1}{R_\underline{1}} \cdot (\frac{1}{R_2} -\frac{1}{R_1})}$$

 und nicht

$$\omega \cdot C \ = \ \sqrt{\frac{1}{R_2} \cdot (\frac{1}{R_2} -\frac{1}{R_1})}$$

 heissen (der erste R-Index in der Wurzel war "2" anstelle "1").

(Wie erwähnt,

$$\omega \cdot L \ = \ \sqrt{R_2 \cdot (R_1 - R_2)}$$

 eingesetzt bei

$$\omega \cdot C \ = \ \frac{\overbrace{\omega \cdot L}^{\sqrt{R_1 \cdot R_2 \ - R_2^2}}}{R_2^2 \ + \underbrace{(\omega \cdot L)^2}_{R_1 \cdot R_2 \ - R_2^2}}$$

 zuvor.)

(Der Rest stimmt dann wieder.)
Da sieht man mal, welcherlei Unfug eine derart "schnöde" Schaltung 
(zusammen mit 1 Tipp-Feher) zur Folge haben kann...