Die Laplace-Transformation ist zunächst mal ein rein mathematisches
("theoretisches") Werkzeug, das sehr schön geeignet ist zum Lösen
linearer Differenzialgleichungen bzw. -Gleichungssysteme. Bei der
Analyse realer Systeme (Anwendung in der "Praxis") ist nicht die
Laplace-Transformation an sich der wichtige Punkt (sie ist auch da nur
ein mathematisches Hilfsmittel), sondern das wichtigste ist die
Modellbildung. Ohne ein sinnvolles Modell, das sich durch eine
Differenzialgleichung oder ein Differenzialgleichungssystem beschreiben
lässt, braucht man gar nicht anzufangen. Deshalb stehen solche Sachen
i.d.R. auch nicht in Mathe-Büchern drin (außer in Mathe-Büchern, die
z.B. speziell für Studenten einer bestimmten Fachrichtung geschrieben
wurden).
Eine sehr verbreitete Anwendung für die Laplace-Transformation ist z.B.
in der Regelungstechnik die Analyse linearer Regelkreise. Da müsstest Du
mal in einem Regelungstechnik-Buch nachsehen. Im Prinzip lässt sich aber
für jedes elektrische Netzwerk ein DGL-System aufstellen, das sich,
zumindest solange es linear ist, mit geringem Aufwand mittels
Laplace-Transformation lösen lässt. Auch außerhalb der Elektrotechnik
gibt es eine ganze Reihe Anwendungen (eben überall, wo lineare DGLn
gelöst werden sollen). Für alle praktischen Anwendungen ist aber auch
das entsprechende Wissen aus dem betreffenden Fach erforderlich, um die
DGLn aufzustellen (Bei der Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik z.B.
Kenntniss der Kirchhoffschen Gesetze, um die Knoten- und
Maschengleichungen aufzustellen). Das Lösen des Systems ist dann nur
noch die Laplace-Transformation an sich, das lösen der algebraischen
Gleichung bzw. des Gleichungssystems im "Frequenzbereich" (Grundlagen
Mathematik) und die Rücktransformation (meist mit Hilfe einer
Transformationstabelle und ein bisschen Geschick beim Umformen der
Terme).
