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Forum: Offtopic Noch so eine Kluchschwätzerfrage


Autor: Simon Huwyler (simi)
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Hallo zusammen!

Der "Wer-weiss-was(das)"-Tradition folgend, stelle ich nun auch eine 
Frage:

Stellt Euch ein perfektes (nie reissendes) Gummiband vor. An der einen 
Seite ist es fest in einer Wand verankert, an der anderen Seite zieht 
ein perfekter Muskelprotz mit 1m/s.

Auf dem Gummiband, gleich bei der Wand, kriecht eine Schnecke. Sie 
berührt das Gummiband in einem Punkt und kriecht mit 1mm/s gegenüber 
ihrer Unterlage (Gummiband) in Richtung Muskelprotz.

Frage:
Wird sie ihn je erreichen?

Autor: g0nz00 (Gast)
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Ja sie wird ihn erreichen da die kraft immer größer wird um das 
gummiband weiter zu dehnen. daher ist irgendwann schluß mit ziehen und 
die schnecke erreicht irendwann das ziel. sofern nichtder muskelprotz 
keine lust mehr hat und das gummi los läßt bevor sie ihr ziel erreicht 
hat.

Autor: mr.chip (Gast)
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x0 = anfänglicher Abstand der Schnecke von der Wand
L0 = anfängliche Länge des Bandes
vmp = Geschwindigkeit des idealen Muskelprotzes (der irgendwann ein 
Problem mit der Haftreibung des Bodens kriegen wird)
vs = Geschwindigkeit der Schnecke relativ zu ihrem Punkt auf dem Band
vw = Geschwindigkeit der Schnecke relativ zur Wand

vmp = 1 m/s

vw < vmp oder vw > vmp

vw(t) = vmp  t  ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0)


Kommt dann halt auf die konkreten Zahlenbeispiele L0 und x0 an.

Autor: mr.chip (Gast)
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> Ja sie wird ihn erreichen da die kraft immer größer wird um das
> gummiband weiter zu dehnen. daher ist irgendwann schluß mit ziehen und
> die schnecke erreicht irendwann das ziel. sofern nichtder muskelprotz
> keine lust mehr hat und das gummi los läßt bevor sie ihr ziel erreicht
> hat.

Er zieht nicht mit einer bestimmten Kraft, sondern mit einer bestimmten 
Geschwindigkeit. Der Kraftaufwand geht gegen unendlich, aber das scheint 
ihm egal zu sein. :D

Autor: mr.chip (Gast)
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vw(t) = vmp  t  ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0)

das t ist Unsinn (v * t = ein Weg, aber hier ist eine Geschwindigkeit 
gesucht)

vw(t) = vmp * ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0)

wäre korrekt.

Ausformuliert: Die Schnecke bewegt sich durch Banddehnung gegenüber Wand 
bzw. Muskelprotz im Verhältnis zu ihrem Abstand zwischen Wand und 
Muskelprotz. Dieses Verhältnis macht sie aber kontinuierlich grösser 
durch das Verhältnis ihrer Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit des 
Muskelprotzes.

Autor: mr.chip (Gast)
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Noch nicht ganz korrekt:

Durch die Banddehnung erhält das Verhältnis zwischen vs und vmp eine 
immer geringere Bedeutung. Achja, die ts sind wirklich fast allesamt 
überflüssig :-)

vw(t) = vmp * ((x0 + (vs / vmp) / (vmp * t)) / L0)

Autor: AVRFan (Gast)
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@ Mr.Chip:

> vw(t) = vmp  t  ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0)

Hab ein Problem mit dem Teil

> (vs * t / t * vmp)

weil es in dieser Darstellung nicht eindeutig ist (was genau wird durch 
was geteilt?).  Hilfst Du mir auf die Sprünge?

Autor: AVRFan (Gast)
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@ Mr.Chip:

Hat sich erledigt. Trotzdem danke :-)

Autor: g0nz00 (Gast)
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Ach so ein Perfecter Muskelprotz ;)

Autor: AVRFan (Gast)
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@ Mr.Chip:

> vw(t) = vmp * ((x0 + (vs / vmp) / (vmp * t)) / L0)

Komm ich auch nicht klar mit.

vs/vmp hat keine Dimension.

vmp * t ist ein Weg.

--> Mit "x0 + ()/()" addierst Du einen Weg zum Kehrwert eines Wegs --> ?

Kannst Du es korrigieren? Würde mich sehr interessieren.

Autor: mr.chip (Gast)
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Die Schnecke bewegt sich ja ihrerseits auch, d.h. ihr Weg hat auch 
wiederum einen Einfluss auf die Änderungsrate:

vw(t) = vmp * ((x0 + (vs / vmp) / ((vs * t) / (vmp * t))) / L0)

So langsam rieche ich da was, mal einen anderen Ansatz probieren.

Autor: Muraer (Gast)
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Hmm, also ich fasse das so auf:

Sagen wir, der Muskelprotz beginnt mit 2m Abstand von der Wand zu 
ziehen.
Also ist seine zurückgelegte Strecke:
MPS(t)=t+2
Die Schnecke hat zwei Geschwindigkeiten, eine Eigengeschwindigkeit und 
eine vom Gummiband verursachte.
Strecke wegen Eigengeschwindigkeit:
SEG(t)=0.001*t

Dann noch die Geschwindigkeit, die sie durch das Gummiband erhält. Diese 
ergibt sich bei mir als Verhältnis der beiden Abstandsstrecken von Protz 
und Schnecke zur Wand. Also Abstand Schnecke/Abstand Muskelmann 
multipliziert mit der Geschwindigkeit des Muskelmannes.

Diese beiden Strecken pro t addiert man dann, bastelt etwas und erhält 
für die Schneke:

StrS(t)=(0.004/(x+2))+0.002x-0.002

Aber irgendwie tönt mir das zu linear...

Ich sage, sie holt ihn nie ein.

Autor: Muraer (Gast)
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Ui, verbesserung: Sie holt ihn ein, würd ich sagen. :)

Autor: AVRFan (Gast)
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> Frage: Wird sie ihn je erreichen?

Ja, das wird sie in jedem Fall, und eine nicht zu schnelle Schnecke 
benötigt dafür die Zeit

t = (L0/W) e^(W/v)

mit
L0 = Länge des Gummibands am Anfang
W = konstante Geschw.keit mit der der Muskelprotz das Bandende vorwärts 
zieht
v = konstante Geschwindigkeit der Schnecke relativ zum Band

Wie man sieht wächst t exponentiell mit W/v.  Deshalb ist eine langsame 
Schnecke (<--> W/v groß) außerordentlich lange unterwegs bis sie am 
Bandende angekommen ist.

Autor: Mario Hagen (djacme)
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das könnt glatt  ne aufgabe von unsem Physik-Prof sein...

Autor: HomerS (Gast)
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Ich denke, die Unterlage wird sich immer weniger (relativ zur 
Gesamtlänge) längen, je länger Hulk daran zieht.

Also wird die Schnecke am Anfang auf IHN zulaufen (wenn man das so sagen 
kann), und später immer weiter von ihm entfernt sein.

Nix iss, Schnecke beißt Hulk,  nimmermehr!!!!

yep und guude aud Hessen

ts

Autor: Realistico (Gast)
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@ ALLE

 Wie währe ein einfaches NEIN und gut ist es.

Autor: Bart (Gast)
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...ich denke, der Muskelprotz wir die Schnecke wieder erreichen, 
schließlich ist die Erde keine flache Scheibe... ;o)

Autor: Simon Huwyler (simi)
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Die Antwort ist: Sie wird ihn erreichen.

Bei einem Meter Anfangslänge wird das aber SEHR SEHR SEHR SEHR SEHR SEHR 
SEHR SEHR lange dauern. Ich kann mich nicht mehr erinnern und habe keine 
Zeit, es selber nochmals durchzurechnen. Aber glaube mich daran zu 
erinnern, dass es einige Jahrmillionen dauert.

"Schliesslich ist die Erde keine flache Scheibe..."
Das Band wird spiralförmig über die Erde gelegt. Sozusagen als 
gigantisches Garn- öh.. Gummiknäuel. Da ist die Wahrscheinlichkeit eines 
erneuten Treffens sehr gering :-)

Autor: Matthias (Gast)
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Simon Huwyler hat recht, sie erreicht ihn nach etlichen Millionen 
Jahren.

Quasi die gleiche Aufgabe hat Herrmann in seinem Buch beschrieben.

Autor: Jens B. (sio2)
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HMM. Ich würde sagen, sie kommt nie an ihn ran, solange die dehnung mehr 
strecke zwischen ihm und ihr erzeugt, als sie in der selben zeit geht, 
Und da er 1000mal so schnell ist, wuerde ich auch dabei bleiben. (ok. 
bin leider kein mathe ass, aber ne korrekte lösung wäre interessant.)

Autor: Walter (Gast)
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Beispiele sind immer gut:
angenommen das Band ist anfangs 10mm lang, die (punktförmige) Schnecke 
sitz bei 1mm:

Zeit   Arnold   Schnecke + Band          %
0sec      10         1       0           9
1sec    1010        2    +  101         907
2sec    2010        3    +  204,98      1802
3sec    3010        4    +  311,45      2694

mit den Startwerten wird sie ihn also nie erreichen,

Autor: Walter (Gast)
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uups, ich behaupte das Gegenteil:
(die % in meinem ersten Posting sollten übrigens delta, also der Abstand 
Schnecke Läufer sein)

wenn ich mir nämlich die Zunahme des Abstands ansehe nimmt diese Zunahme 
nämlich ab. d.h. also irgendwann ist ein Maximum der Abstands erreicht 
und danach nimmt er ab!
Also wird sie ihn in diesem Beispiel erreichen
       Zunahme des Abstands
1 sec  898
2 sec 895
3 sec 892

Autor: Realistico (Gast)
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Grau ist alle Theorie !

Da darf man sich nicht wundern wenn wir erst seit kurzem aufrecht gehen.

Autor: AVRFan (Gast)
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>sie kommt nie an ihn ran, solange die dehnung mehr
>strecke zwischen ihm und ihr erzeugt, als sie in der selben zeit geht,

Die korrekte Lösung, die zeigt, dass Du Dich irrst, ist gar nicht so 
schwer.

Sei L := Bandlänge
    C := Bandende-Geschwindigkeit
    w := Kriechgeschw.keit der Schnecke (= ihre Geschw.keit ggü. Band)
    x := Entfernung der Schnecke von der Wand
    v := Geschwindigkeit der Schnecke ggü. Boden

L0, C und w sind Systemparameter.

L(t), x(t) und v(t) sind zeitabhängige Funktionen.

L(t) ist laut Aufgabenstellung gegeben durch

    ---------------
    L(t) = L0 + C t
    ---------------

ANSATZ (bitte selbst darüber nachdenken, was dahintersteckt):

    ---------------
    v = w + (x/L) C
    ---------------

Setzen wir das obige L(t) ein bekommen wir

    v = w + (x/(L0 + C t)) C

    v = w + x/(L0/C + t)

Der nur aus Systemparametern bestehende Bruch L0/C hat die Dimension 
einer Zeit. Damit handelt es sich um eine charakteristische Zeiteinheit 
des Problems, die wir zwecks Schreibarbeitsersparnis mit T abkürzen: 
L0/C =: T.  T ist die Zeitspanne, die der Muskelprotz benötigt, um das 
Band gerade um das Stück L0 weiter auszudehnen.

    v = w + x/(T + t)

    --------------------
    x' - 1/(T + t) x = w     mit  x' = dx/dt = v
    --------------------

Dies ist die Differentialgleichung (DG) der Schneckenbewegung.  Sie ist 
linear, inhomogen und hat die Ordnung 1.  Zur Lösung von DGn dieses Typs 
gibt es Verfahren, die immer funktionieren.

Hier gleich die Lösung:

    x(t) = w T (1 + t/T) ln(1 + t/T)

Wie Du leicht nachprüfen kannst erfüllt diese Weg-Zeit-Funktion x(t) die 
obige DG sowie die Anfangsbedingung x(t=0) = 0.

Wir formen noch etwas um:

    x(t) = L0 w T/L0 (...) ln(...)

    x(t) = L0 w/C (...) ln(...)

Der darin stehende dimensionslose Bruch w/C ist der 
"Geschwindigkeitsparameter des Problems". Wir kürzen ihn mit b ab: w/C 
=: b

    x(t) = L0 b (1 + t/T) ln(1 + t/T)

Daraus ergibt sich die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t) der Schnecke 
durch Ableiten nach t zu:

    v(t) = w (ln(1 + t/T) + 1)

Und schließlich können wir noch L(t) darstellen durch

    L(t) = L0 (1 + t/T)

Diese Funktionen L(t), x(t) und v(t) kann man nun für verschiedene 
b-Parameter in einen Funktionenplotter eingeben und sich die Graphen 
angucken - insbesondere natürlich, ob sich x(t) und L(t) irgendwo 
schneiden.

Frage: Wann erreicht die Schnecke das Bandende (wenn überhaupt)?

Antwort:

Sei t° dieser Zeitpunkt. Dann gilt

        x(t°) = L(t°)

    ==> [Funktionen einsetzen und auflösen nach t°]

    ==> t° = T (e^(1/b) - 1)

Ergebnis: Die Schnecke wird das Bandende stets einholen (!), aber die 
dafür benötigte Zeit wächst exponentiell mit dem 
Geschwindigkeitsverhältnis 1/b = C/w ==> eine langsame Schnecke braucht 
eine Ewigkeit.

Wenn die Schnecke das Bandende schließlich erreicht hat, ist sie

    x° = L° = ... = L0 e^(1/b)

von der Wand entfernt (kurze Rechnung "..." selbst machen).  Für ein 
anfänglich L0 = 1 m langes Band und eine Rennschnecke, die mit 10 % der 
Geschwindigkeit des Muskelprotzes kriecht (==> 1/b = 10), ist x° = L° = 
1 m e^10 = 22 km; eine halb so schnelle Schnecke muss dagegen schon 1 m 
e^20 = 485165 km zurücklegen.

Das wars :-).

Autor: Unbekannter (Gast)
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Nein, die Schnecke kommt nie an. Lässt sich nur durch logisches denken, 
ohne Mathematik zeigen.

Damit es leichter geht, sich alles vorzustellen, soll die Schnecke vom 
Muskelprotz zur Wand kriechen (ist aber das gleiche wie die 
ursprüngliche Aufgabe, nur der "Nullpunkt" ist ein anderer, also welches 
Ende des Gummibandes sich bewegt und welches still steht).

Definitionen:

  - Startpunkt der Schnecke ist beim Muskelprotz
  - Zielpunkt der Schnecke ist an der Wand

Überlegung 1):

Es sitzt noch keine Schnecke auf dem Gummiband. Nur das Verhalten des 
Bandes wird betrachtet:

  - Durch das Ziehen des Muskelprotzes entfernt sich der
    Startpunkt (Muskelprotz) vom Zielpunkt (Wand) mit
    kontinuierlicher Geschwindigkeit (v).
  - Der Zielpunkt (Wand) bleibt stationär.
  - Der Mittelpunkt des Bandes entfernt sich mit halber
    Geschwindigkeit (v/2) vom Zielpunkt (Wand).

Folgerung a):

  Alle Punkte des Gummibandes entfernen sich mit
  konstanter Geschwindigkeit vom Zielpunkt.
  Die Geschwindigkeit ist proportional zur Entfernung
  des Punktes vom Zielpunkt.

Folgerung b):

  Es gibt einen Punkt auf dem Gummiband, der sich mit
  der gleichen Geschwindigkeit vom Ziel entfernt, wie
  die Schnecke sich bewegen könnte, wenn sie nur wollte.


Überlegung 2):

Wir setzen eine Schnecke auf den Punkt aus Flogerung b. Die Schnecke 
bewegt sich aber nicht, sondern bleibt sitzen.

Folgerung c):

  Solange die Schnecke still steht, bewegt sie sich mit der
  Geschwindigkeit vom Ziel fort, mit der sich kriechen könnte.
  Der Punkt auf dem sie sitzen bleibt, ist aber ständig der selbe.

Folgerung d):

  Wenn nun die Schnecke eine Bewegung vom Punkt aus b & c in
  Richtung des Zieles macht, gleichgültig wie klein diese
  Bewegung ist, besetzt die Schnecke einen neuen Punkt der
  sich langsamer als ihre mögliche Kriechgeschwindgkeit vom
  Ziel entfernt.

Folgerung e):

  Da die Schnecke nun aber schneller kriechen kann, als dass der
  aktuell besetzte Punkt sich vom Ziel entfernt, wird die Schnecke
  das Ziel auf jeden Fall in endlicher Zeit erreichen.

Zwischenergebnis:

  Es gibt eine Ausgangspunkt, zwischen Startpunkt und Zielpunkt
  auf dem Gummiband, von dem aus die Schnecke den Zielpunkt
  auf jeden Fall in endlicher Zeit erreicht

Offene Frage:

  Was passiert, wenn die Schnecke sich unmittelbar vor dem
  Punkt aus b & c befindet?

Überlegung 3):

  Die Schnecke sitzt auf einem Punkt, der sich schneller als
  ihre Kriechgeschwindigkeit vom Zielpunkt entfernt.
  Die Schnecke kriecht eine bestimmte Zeit in Richtung des
  Punktes aus b & c. Da aber alle Punkte, die sie in dieser
  Zeit überkriecht, sich schneller vom Zielpunkt entfernen
  als die Schnecke kriechen kann, wird sie diesen Punkt
  in endlicher Zeit nie erreichen können!

Folgerung f):

  Die Schnecke kann sich an diesen Punkt zwar beliebig nahe
  annäheren, aber erreichen kann sie den Punkt niemals.

Zusammenfassung:

Wenn die Schnecke auf dem sich ausdehnendem Band loskriecht, erreicht 
sie asymptotisch eine Punkt auf dem Band, der sich mit der 
Kriechgeschwindigkeit der Schnecke vom Ziel entfernt.

Ergo: Die Schnecke kommt in endlicher Zeit niemals an.

Autor: Realistico (Gast)
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Zum Nachdenken ein anderes Problem.

Achill und die Schildkröte
Achill und eine Schildkröte verabreden sich zu einem Wettlauf über 100m. 
Er ist zehnmal so schnell und läßt ihr 10m Vorsprung. Er läuft 10m, sie 
ist dann 1m vor ihm. Er läuft den 1m Meter, sie ist dann 10cm vor ihm. 
Er läuft die 10cm, sie ist immer noch vor ihm... holt er sie jemals ein?

Theoretisch - NEIN
Praktisch   -  JA

Soviel zu solchen Denksportaufgaben, und nun wünsche ich euch eine lange 
Nacht der Diskussionen.

Autor: Dieter (Gast)
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wenn man die Zeit mit einem sinnfreien matemathischen Konstrukt anhält 
holt er sie nicht ein,
ansonsten lass Achill einfach 12m laufen, wähenddessen ist die 
Schildkröte einen 1,20 weiter, also auf 11,20 und damit hat er sie sogar 
überholt ...

Autor: AVRFan (Gast)
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>Was passiert, wenn die Schnecke sich unmittelbar vor dem
>Punkt aus b & c befindet?

Dann bewegt sie sich noch von der Wand weg, wenn auch nur noch mit sehr 
geringer Geschwindigkeit.  Weil das, was sie vorwärtskriecht, durch die 
Banddehnung nicht genau ausgeglichen, sondern etwas überkompensiert 
wird.  Also kriecht die tapfere Schnecke 8 Stunden lang vorwärts (eine 
Schnecke auf dem Boden schafft 29 m in dieser Zeit) und ist am Ende 
gerade einen Fingerbreit weiter von der Wand entfernt als vorher.  Aber: 
Daraus zu folgern, dass die 8 Stunden (und alle weiteren) deshalb 
umsonst waren, wäre zu kurzsichtig.  Denn während jeder Stunde hat sich 
das Band ein gutes Stück weiter ausgedehnt!  Dadurch hat sich die 
Geschwindigkeit des Bandabschnitts unter der Schnecke etwas verringert 
und sie tut es weiter.  Dieser Effekt sorgt dafür, dass die Schnecke den 
"magischen Punkt" schließlich überwindet.  Sie muss also nur unbeirrt 
"tagelang" weiter vorwärtskriechen und dabei die Zeit für sich arbeiten 
lassen.

Die Differentialgleichung für diesen Fall - Schnecke startet am Bandende 
und bewegt sich auf die Wand zu - lautet übrigens

    x' - 1/(T + t) x = -w

mit der Anfangsbedingung x(t=0) = L0.

Die Lösung ist

    x(t) = L0 (1 + t/T) (1 - b ln(1 + t/T))

Füttere mal einen Funktionenplotter für verschiedene b-Werte damit - es 
lohnt sich :-).

Die Zeit t°, die die Schnecke benötigt, um das Bandende zu erreichen, 
ist dieselbe wie im originalen Problem:

    t° = T (e^(1/b) - 1)

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