Hallo zusammen! Der "Wer-weiss-was(das)"-Tradition folgend, stelle ich nun auch eine Frage: Stellt Euch ein perfektes (nie reissendes) Gummiband vor. An der einen Seite ist es fest in einer Wand verankert, an der anderen Seite zieht ein perfekter Muskelprotz mit 1m/s. Auf dem Gummiband, gleich bei der Wand, kriecht eine Schnecke. Sie berührt das Gummiband in einem Punkt und kriecht mit 1mm/s gegenüber ihrer Unterlage (Gummiband) in Richtung Muskelprotz. Frage: Wird sie ihn je erreichen?
Ja sie wird ihn erreichen da die kraft immer größer wird um das gummiband weiter zu dehnen. daher ist irgendwann schluß mit ziehen und die schnecke erreicht irendwann das ziel. sofern nichtder muskelprotz keine lust mehr hat und das gummi los läßt bevor sie ihr ziel erreicht hat.
x0 = anfänglicher Abstand der Schnecke von der Wand L0 = anfängliche Länge des Bandes vmp = Geschwindigkeit des idealen Muskelprotzes (der irgendwann ein Problem mit der Haftreibung des Bodens kriegen wird) vs = Geschwindigkeit der Schnecke relativ zu ihrem Punkt auf dem Band vw = Geschwindigkeit der Schnecke relativ zur Wand vmp = 1 m/s vw < vmp oder vw > vmp vw(t) = vmp t ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0) Kommt dann halt auf die konkreten Zahlenbeispiele L0 und x0 an.
> Ja sie wird ihn erreichen da die kraft immer größer wird um das > gummiband weiter zu dehnen. daher ist irgendwann schluß mit ziehen und > die schnecke erreicht irendwann das ziel. sofern nichtder muskelprotz > keine lust mehr hat und das gummi los läßt bevor sie ihr ziel erreicht > hat. Er zieht nicht mit einer bestimmten Kraft, sondern mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Der Kraftaufwand geht gegen unendlich, aber das scheint ihm egal zu sein. :D
vw(t) = vmp t ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0) das t ist Unsinn (v * t = ein Weg, aber hier ist eine Geschwindigkeit gesucht) vw(t) = vmp * ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0) wäre korrekt. Ausformuliert: Die Schnecke bewegt sich durch Banddehnung gegenüber Wand bzw. Muskelprotz im Verhältnis zu ihrem Abstand zwischen Wand und Muskelprotz. Dieses Verhältnis macht sie aber kontinuierlich grösser durch das Verhältnis ihrer Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit des Muskelprotzes.
Noch nicht ganz korrekt: Durch die Banddehnung erhält das Verhältnis zwischen vs und vmp eine immer geringere Bedeutung. Achja, die ts sind wirklich fast allesamt überflüssig :-) vw(t) = vmp * ((x0 + (vs / vmp) / (vmp * t)) / L0)
@ Mr.Chip: > vw(t) = vmp t ((x0 + (vs * t / t * vmp)) / L0) Hab ein Problem mit dem Teil > (vs * t / t * vmp) weil es in dieser Darstellung nicht eindeutig ist (was genau wird durch was geteilt?). Hilfst Du mir auf die Sprünge?
@ Mr.Chip:
> vw(t) = vmp * ((x0 + (vs / vmp) / (vmp * t)) / L0)
Komm ich auch nicht klar mit.
vs/vmp hat keine Dimension.
vmp * t ist ein Weg.
--> Mit "x0 + ()/()" addierst Du einen Weg zum Kehrwert eines Wegs --> ?
Kannst Du es korrigieren? Würde mich sehr interessieren.
Die Schnecke bewegt sich ja ihrerseits auch, d.h. ihr Weg hat auch wiederum einen Einfluss auf die Änderungsrate: vw(t) = vmp * ((x0 + (vs / vmp) / ((vs * t) / (vmp * t))) / L0) So langsam rieche ich da was, mal einen anderen Ansatz probieren.
Hmm, also ich fasse das so auf: Sagen wir, der Muskelprotz beginnt mit 2m Abstand von der Wand zu ziehen. Also ist seine zurückgelegte Strecke: MPS(t)=t+2 Die Schnecke hat zwei Geschwindigkeiten, eine Eigengeschwindigkeit und eine vom Gummiband verursachte. Strecke wegen Eigengeschwindigkeit: SEG(t)=0.001*t Dann noch die Geschwindigkeit, die sie durch das Gummiband erhält. Diese ergibt sich bei mir als Verhältnis der beiden Abstandsstrecken von Protz und Schnecke zur Wand. Also Abstand Schnecke/Abstand Muskelmann multipliziert mit der Geschwindigkeit des Muskelmannes. Diese beiden Strecken pro t addiert man dann, bastelt etwas und erhält für die Schneke: StrS(t)=(0.004/(x+2))+0.002x-0.002 Aber irgendwie tönt mir das zu linear... Ich sage, sie holt ihn nie ein.
> Frage: Wird sie ihn je erreichen?
Ja, das wird sie in jedem Fall, und eine nicht zu schnelle Schnecke
benötigt dafür die Zeit
t = (L0/W) e^(W/v)
mit
L0 = Länge des Gummibands am Anfang
W = konstante Geschw.keit mit der der Muskelprotz das Bandende vorwärts
zieht
v = konstante Geschwindigkeit der Schnecke relativ zum Band
Wie man sieht wächst t exponentiell mit W/v. Deshalb ist eine langsame
Schnecke (<--> W/v groß) außerordentlich lange unterwegs bis sie am
Bandende angekommen ist.
Ich denke, die Unterlage wird sich immer weniger (relativ zur Gesamtlänge) längen, je länger Hulk daran zieht. Also wird die Schnecke am Anfang auf IHN zulaufen (wenn man das so sagen kann), und später immer weiter von ihm entfernt sein. Nix iss, Schnecke beißt Hulk, nimmermehr!!!! yep und guude aud Hessen ts
...ich denke, der Muskelprotz wir die Schnecke wieder erreichen, schließlich ist die Erde keine flache Scheibe... ;o)
Die Antwort ist: Sie wird ihn erreichen. Bei einem Meter Anfangslänge wird das aber SEHR SEHR SEHR SEHR SEHR SEHR SEHR SEHR lange dauern. Ich kann mich nicht mehr erinnern und habe keine Zeit, es selber nochmals durchzurechnen. Aber glaube mich daran zu erinnern, dass es einige Jahrmillionen dauert. "Schliesslich ist die Erde keine flache Scheibe..." Das Band wird spiralförmig über die Erde gelegt. Sozusagen als gigantisches Garn- öh.. Gummiknäuel. Da ist die Wahrscheinlichkeit eines erneuten Treffens sehr gering :-)
Simon Huwyler hat recht, sie erreicht ihn nach etlichen Millionen Jahren. Quasi die gleiche Aufgabe hat Herrmann in seinem Buch beschrieben.
HMM. Ich würde sagen, sie kommt nie an ihn ran, solange die dehnung mehr strecke zwischen ihm und ihr erzeugt, als sie in der selben zeit geht, Und da er 1000mal so schnell ist, wuerde ich auch dabei bleiben. (ok. bin leider kein mathe ass, aber ne korrekte lösung wäre interessant.)
Beispiele sind immer gut: angenommen das Band ist anfangs 10mm lang, die (punktförmige) Schnecke sitz bei 1mm: Zeit Arnold Schnecke + Band % 0sec 10 1 0 9 1sec 1010 2 + 101 907 2sec 2010 3 + 204,98 1802 3sec 3010 4 + 311,45 2694 mit den Startwerten wird sie ihn also nie erreichen,
uups, ich behaupte das Gegenteil:
(die % in meinem ersten Posting sollten übrigens delta, also der Abstand
Schnecke Läufer sein)
wenn ich mir nämlich die Zunahme des Abstands ansehe nimmt diese Zunahme
nämlich ab. d.h. also irgendwann ist ein Maximum der Abstands erreicht
und danach nimmt er ab!
Also wird sie ihn in diesem Beispiel erreichen
Zunahme des Abstands
1 sec 898
2 sec 895
3 sec 892
Grau ist alle Theorie ! Da darf man sich nicht wundern wenn wir erst seit kurzem aufrecht gehen.
>sie kommt nie an ihn ran, solange die dehnung mehr >strecke zwischen ihm und ihr erzeugt, als sie in der selben zeit geht, Die korrekte Lösung, die zeigt, dass Du Dich irrst, ist gar nicht so schwer. Sei L := Bandlänge C := Bandende-Geschwindigkeit w := Kriechgeschw.keit der Schnecke (= ihre Geschw.keit ggü. Band) x := Entfernung der Schnecke von der Wand v := Geschwindigkeit der Schnecke ggü. Boden L0, C und w sind Systemparameter. L(t), x(t) und v(t) sind zeitabhängige Funktionen. L(t) ist laut Aufgabenstellung gegeben durch --------------- L(t) = L0 + C t --------------- ANSATZ (bitte selbst darüber nachdenken, was dahintersteckt): --------------- v = w + (x/L) C --------------- Setzen wir das obige L(t) ein bekommen wir v = w + (x/(L0 + C t)) C v = w + x/(L0/C + t) Der nur aus Systemparametern bestehende Bruch L0/C hat die Dimension einer Zeit. Damit handelt es sich um eine charakteristische Zeiteinheit des Problems, die wir zwecks Schreibarbeitsersparnis mit T abkürzen: L0/C =: T. T ist die Zeitspanne, die der Muskelprotz benötigt, um das Band gerade um das Stück L0 weiter auszudehnen. v = w + x/(T + t) -------------------- x' - 1/(T + t) x = w mit x' = dx/dt = v -------------------- Dies ist die Differentialgleichung (DG) der Schneckenbewegung. Sie ist linear, inhomogen und hat die Ordnung 1. Zur Lösung von DGn dieses Typs gibt es Verfahren, die immer funktionieren. Hier gleich die Lösung: x(t) = w T (1 + t/T) ln(1 + t/T) Wie Du leicht nachprüfen kannst erfüllt diese Weg-Zeit-Funktion x(t) die obige DG sowie die Anfangsbedingung x(t=0) = 0. Wir formen noch etwas um: x(t) = L0 w T/L0 (...) ln(...) x(t) = L0 w/C (...) ln(...) Der darin stehende dimensionslose Bruch w/C ist der "Geschwindigkeitsparameter des Problems". Wir kürzen ihn mit b ab: w/C =: b x(t) = L0 b (1 + t/T) ln(1 + t/T) Daraus ergibt sich die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t) der Schnecke durch Ableiten nach t zu: v(t) = w (ln(1 + t/T) + 1) Und schließlich können wir noch L(t) darstellen durch L(t) = L0 (1 + t/T) Diese Funktionen L(t), x(t) und v(t) kann man nun für verschiedene b-Parameter in einen Funktionenplotter eingeben und sich die Graphen angucken - insbesondere natürlich, ob sich x(t) und L(t) irgendwo schneiden. Frage: Wann erreicht die Schnecke das Bandende (wenn überhaupt)? Antwort: Sei t° dieser Zeitpunkt. Dann gilt x(t°) = L(t°) ==> [Funktionen einsetzen und auflösen nach t°] ==> t° = T (e^(1/b) - 1) Ergebnis: Die Schnecke wird das Bandende stets einholen (!), aber die dafür benötigte Zeit wächst exponentiell mit dem Geschwindigkeitsverhältnis 1/b = C/w ==> eine langsame Schnecke braucht eine Ewigkeit. Wenn die Schnecke das Bandende schließlich erreicht hat, ist sie x° = L° = ... = L0 e^(1/b) von der Wand entfernt (kurze Rechnung "..." selbst machen). Für ein anfänglich L0 = 1 m langes Band und eine Rennschnecke, die mit 10 % der Geschwindigkeit des Muskelprotzes kriecht (==> 1/b = 10), ist x° = L° = 1 m e^10 = 22 km; eine halb so schnelle Schnecke muss dagegen schon 1 m e^20 = 485165 km zurücklegen. Das wars :-).
Nein, die Schnecke kommt nie an. Lässt sich nur durch logisches denken,
ohne Mathematik zeigen.
Damit es leichter geht, sich alles vorzustellen, soll die Schnecke vom
Muskelprotz zur Wand kriechen (ist aber das gleiche wie die
ursprüngliche Aufgabe, nur der "Nullpunkt" ist ein anderer, also welches
Ende des Gummibandes sich bewegt und welches still steht).
Definitionen:
- Startpunkt der Schnecke ist beim Muskelprotz
- Zielpunkt der Schnecke ist an der Wand
Überlegung 1):
Es sitzt noch keine Schnecke auf dem Gummiband. Nur das Verhalten des
Bandes wird betrachtet:
- Durch das Ziehen des Muskelprotzes entfernt sich der
Startpunkt (Muskelprotz) vom Zielpunkt (Wand) mit
kontinuierlicher Geschwindigkeit (v).
- Der Zielpunkt (Wand) bleibt stationär.
- Der Mittelpunkt des Bandes entfernt sich mit halber
Geschwindigkeit (v/2) vom Zielpunkt (Wand).
Folgerung a):
Alle Punkte des Gummibandes entfernen sich mit
konstanter Geschwindigkeit vom Zielpunkt.
Die Geschwindigkeit ist proportional zur Entfernung
des Punktes vom Zielpunkt.
Folgerung b):
Es gibt einen Punkt auf dem Gummiband, der sich mit
der gleichen Geschwindigkeit vom Ziel entfernt, wie
die Schnecke sich bewegen könnte, wenn sie nur wollte.
Überlegung 2):
Wir setzen eine Schnecke auf den Punkt aus Flogerung b. Die Schnecke
bewegt sich aber nicht, sondern bleibt sitzen.
Folgerung c):
Solange die Schnecke still steht, bewegt sie sich mit der
Geschwindigkeit vom Ziel fort, mit der sich kriechen könnte.
Der Punkt auf dem sie sitzen bleibt, ist aber ständig der selbe.
Folgerung d):
Wenn nun die Schnecke eine Bewegung vom Punkt aus b & c in
Richtung des Zieles macht, gleichgültig wie klein diese
Bewegung ist, besetzt die Schnecke einen neuen Punkt der
sich langsamer als ihre mögliche Kriechgeschwindgkeit vom
Ziel entfernt.
Folgerung e):
Da die Schnecke nun aber schneller kriechen kann, als dass der
aktuell besetzte Punkt sich vom Ziel entfernt, wird die Schnecke
das Ziel auf jeden Fall in endlicher Zeit erreichen.
Zwischenergebnis:
Es gibt eine Ausgangspunkt, zwischen Startpunkt und Zielpunkt
auf dem Gummiband, von dem aus die Schnecke den Zielpunkt
auf jeden Fall in endlicher Zeit erreicht
Offene Frage:
Was passiert, wenn die Schnecke sich unmittelbar vor dem
Punkt aus b & c befindet?
Überlegung 3):
Die Schnecke sitzt auf einem Punkt, der sich schneller als
ihre Kriechgeschwindigkeit vom Zielpunkt entfernt.
Die Schnecke kriecht eine bestimmte Zeit in Richtung des
Punktes aus b & c. Da aber alle Punkte, die sie in dieser
Zeit überkriecht, sich schneller vom Zielpunkt entfernen
als die Schnecke kriechen kann, wird sie diesen Punkt
in endlicher Zeit nie erreichen können!
Folgerung f):
Die Schnecke kann sich an diesen Punkt zwar beliebig nahe
annäheren, aber erreichen kann sie den Punkt niemals.
Zusammenfassung:
Wenn die Schnecke auf dem sich ausdehnendem Band loskriecht, erreicht
sie asymptotisch eine Punkt auf dem Band, der sich mit der
Kriechgeschwindigkeit der Schnecke vom Ziel entfernt.
Ergo: Die Schnecke kommt in endlicher Zeit niemals an.
Zum Nachdenken ein anderes Problem. Achill und die Schildkröte Achill und eine Schildkröte verabreden sich zu einem Wettlauf über 100m. Er ist zehnmal so schnell und läßt ihr 10m Vorsprung. Er läuft 10m, sie ist dann 1m vor ihm. Er läuft den 1m Meter, sie ist dann 10cm vor ihm. Er läuft die 10cm, sie ist immer noch vor ihm... holt er sie jemals ein? Theoretisch - NEIN Praktisch - JA Soviel zu solchen Denksportaufgaben, und nun wünsche ich euch eine lange Nacht der Diskussionen.
wenn man die Zeit mit einem sinnfreien matemathischen Konstrukt anhält holt er sie nicht ein, ansonsten lass Achill einfach 12m laufen, wähenddessen ist die Schildkröte einen 1,20 weiter, also auf 11,20 und damit hat er sie sogar überholt ...
>Was passiert, wenn die Schnecke sich unmittelbar vor dem >Punkt aus b & c befindet? Dann bewegt sie sich noch von der Wand weg, wenn auch nur noch mit sehr geringer Geschwindigkeit. Weil das, was sie vorwärtskriecht, durch die Banddehnung nicht genau ausgeglichen, sondern etwas überkompensiert wird. Also kriecht die tapfere Schnecke 8 Stunden lang vorwärts (eine Schnecke auf dem Boden schafft 29 m in dieser Zeit) und ist am Ende gerade einen Fingerbreit weiter von der Wand entfernt als vorher. Aber: Daraus zu folgern, dass die 8 Stunden (und alle weiteren) deshalb umsonst waren, wäre zu kurzsichtig. Denn während jeder Stunde hat sich das Band ein gutes Stück weiter ausgedehnt! Dadurch hat sich die Geschwindigkeit des Bandabschnitts unter der Schnecke etwas verringert und sie tut es weiter. Dieser Effekt sorgt dafür, dass die Schnecke den "magischen Punkt" schließlich überwindet. Sie muss also nur unbeirrt "tagelang" weiter vorwärtskriechen und dabei die Zeit für sich arbeiten lassen. Die Differentialgleichung für diesen Fall - Schnecke startet am Bandende und bewegt sich auf die Wand zu - lautet übrigens x' - 1/(T + t) x = -w mit der Anfangsbedingung x(t=0) = L0. Die Lösung ist x(t) = L0 (1 + t/T) (1 - b ln(1 + t/T)) Füttere mal einen Funktionenplotter für verschiedene b-Werte damit - es lohnt sich :-). Die Zeit t°, die die Schnecke benötigt, um das Bandende zu erreichen, ist dieselbe wie im originalen Problem: t° = T (e^(1/b) - 1)
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