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Forum: Offtopic absolute integrierbarkeit x(t) => lim f->+-unendlich X(f)=0


Autor: Daniel (Gast)
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Hallo,

ich muss euch um Rat fragen.

Wie folgere ich aus der absoluten Integrierbarkeit
eines Zeitsignals x(t), dass ...
lim f->+-unendlich von X(f) = 0 ist?

Anschaulich verstehe ich den Satz. Aus der absoluten
Integrierbarkeit kann man folgern, dass x(t)selber eine
Schranke M hat UND dass x(t) für t->+-unendlich gegen 0 geht.
Damit sollen zur Rekonstruktion von x(t) aus X(f)
keine +- unendliche Frequenzen nötig sein.

Für eine Erklärung in Worten oder in Formeln(auf links)
wäre ich euch sehr dankbar.

Grüsse, Daniel

Autor: rene (Gast)
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Nun, falls das Signal gegen Unendlich noch da ist, ist das Integral 
nicht definiert, dh es laeuft weg. Es gibt zwar alternierende Folgen, 
die können noch alternieren, liefern aber keinen Beitrag mehr.

rene

Autor: Daniel (Gast)
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es sind wirklich nur Energiesignale gemeint
sin(x) absolut integiert läuft ins Unendliche, weil eben
die negative Halbwellen durch Betrag hochgezogen werden.

Ich denke man kann vielleicht anders argumentieren
(leider nicht mehr so anschaulich)
über den Satz von Parserval
Ex = <x(t),x(t)> = <X(f),X(f)>
Ex ist bei Signalen mit lim t->-+t x(t) = 0 beschränkt.
So muss auch X(f) ...

Jemand? Eine Lücke im Beweis?

Grüsse, Daniel

Autor: Gast (Gast)
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>Wie folgere ich aus der absoluten Integrierbarkeit
>eines Zeitsignals x(t), dass ...
>lim f->+-unendlich von X(f) = 0 ist?

gar nicht. Weil falsch.

Nimm folgende Funktion, die ueberall identisch 0 ist, bis auf folgende 
Intervalle, in denen sie identisch 1 ist:
1..2
2..2.5
3..3.25
4..4.125
5..5.0625
usw., das gleiche bei Bedarf nach f<0 gespiegelt.

Das Integral ist 2*(1+1/2+1/4+1/8+...)=4. Der lim f->inf X(f) existiert 
nicht. Ich denke, du kannst sehr leicht zeigen, dass der lim=0, FALLS er 
existiert.

Autor: Gast (Gast)
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oh, ich habe uebersehen, dass du einerseits x(t) und andererseits X(f) 
betrachtest. Meine Begruendung ist daher nicht anwendbar.

Autor: Gast (Gast)
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Aber die inverse FT meiner beschriebenen Funktion X(f) ist absolut 
integrierbar, so dass deine Behauptung dennoch widerlegt ist.

Autor: Jan (Gast)
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Gast, deine Funktion ist aber kein Energiesignal, wie Daniel es sich 
vorstellt. Von daher bezweifele ich, daß dein "Beweis" praktikabel ist.

Autor: Daniel (Gast)
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ein Diracimpuls ist absolut integrierbar
seine Fouriertransformierte ist 1 für alle Frequenzen.
Damit scheint die ursprungliche Behauptung wiederlegt zu sein ..(?)
Jetzt muss ich die Stelle mit dieser Behauptung im Buch suchen.

Autor: Gast (Gast)
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Ein Diracimpuls ist keine Funktion.
Du scheinst nicht recht zu wissen, worum es in der Behauptung geht. Aber 
wie du schreibst, musst du die Behauptung ja auch erst suchen. Nur was 
interessiert dich die Erklärung einer Behauptung, die du nicht kennst?

Ausserdem bin ich ziemlich neugierig, was ein "Energiesignal" ist.

Autor: Daniel (Gast)
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Recht hast du, Dirac ist keine Funktion ..
sondern eine Distribution, was mir so gut wie gar nicht weiterhilft.

Man trifft in gängigen Bücher 2 Definitionen

1) d(t) = inf für t=0, 0 sonst

2)Definition durch seine Wirkung (ist mir am einleuchtendsten)
x(t0) = integral(-inf,+inf) { x(t)*d(t-t0)*dt }

ist x(t) = 1, also speziell auch an x(t0=0) = 1
dann ist Integral über unverschobenem Dirac 1
das passt zur üblichen Darstellung eines Rechteckimpulses
mit der Fläche 1.

Wenn man sich 2) vor Augen führt, so
ergeben sich eigentlich viele mögliche Funktionen
die dieselbe Wirkung haben.

Normalerweise findet man in Korespondenztabelle
d(t-t0) o-> exp(-2pi*f*t0)
speziell für t0 = 0
d(t) o-> 1

wenn ich irgendwo einen Dirac als Funktion brauch,
schreib ich es in der Form der Rücktransformierten
(ich transformiere exp(-2pi*f*t0) zurück)
danach kann man hoffentlich durch integralvertauschung
etwas sinnvolles zusammenfassen und erreichen.

an einer anderen Stelle im Buch
findet sich aber auch

lim F->inf { sin(2pi*F*t)/(pi*t) } = d(t)

ich denke mir also, man kann anstatt die Rücktransformierte
zu nehmen, auch diesen Ausdruck benutzen.
Wie gesagt, Definition von Dirac durch seine Wirkung
lässt solche Spielchen zu, macht aber die Menge
der bei Bedarf einzusetzenden Ausdrücke unüberschaubar.

Zum Energiesignal.
Das sind alle Signale x(t) für die
int(-inf,inf) {x(t)x*(t)) dt} existiert

x*(t) heisst, x(t) conjugiert komplex
im reellen heisst es halt, man integiert über x Quadrat.
Der Sinn dahinter ist nur der, dass man negative x(t)
Beiträge auch aufsummiert.
Deswegen ersetzt man x^2 oft durch |x|

Energie Ex ist interal über |x| bzw wurzel aus integral über x^2
(integrale gehen von -inf bis +inv)


Autor: Gast (Gast)
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>Recht hast du, Dirac ist keine Funktion ..
>sondern eine Distribution, was mir so gut wie gar nicht weiterhilft.

So what? Dann vergiss die Distributionen doch einfach, solange du gar 
nicht weisst, was du damit anstellen willst und erklaere nicht noch in 
etlichen Zeilen falsches Zeug.

>Man trifft in gängigen Bücher 2 Definitionen
>1) d(t) = inf für t=0, 0 sonst
Das ist bestimmt keine Definition.
>2)Definition durch seine Wirkung (ist mir am einleuchtendsten)
>x(t0) = integral(-inf,+inf) { x(t)*d(t-t0)*dt }
Ja, wenn du noch definierst was x(t)*d(t-t0) und das Integral bedeuten, 
wenn d keine Funktion ist, und ausserdem definierst, dass das 
integral(x,y){...}=0 falls nicht x<0<y, dann haettest du d definiert.

>[...menge quatsch...]

>Wenn man sich 2) vor Augen führt, so
>ergeben sich eigentlich viele mögliche *Funktionen*
>die dieselbe Wirkung haben.
2) ist ja auch keine Definition der Diracdistribution

>[...fortsetzung...]


>ich denke mir also, man kann anstatt die Rücktransformierte
>zu nehmen, auch diesen Ausdruck benutzen.

Warum betrachtest du die Fouriertransformierte? Nimm doch die 
Laplacetransformierte, das macht es noch etwas komplizierter und lenkt 
noch besser vom eigentlichen Problem ab.

>Zum Energiesignal.
>Das sind alle Signale x(t) für die
>int(-inf,inf) {x(t)x*(t)) dt} existiert
>
>x*(t) heisst, x(t) conjugiert komplex
aha. Eine hervorragend anschaulicher Begriff fuer absolut integrierbar.

So, und was war nun dein Problem? Moechtest du deine falsche Behauptung 
bewiesen haben oder lieber eine Herleitung, dass die Diracdistribution 
doch eine Funktion oder ganz viele Funktionen oder eine 
Ruecktransformierte ist?

Autor: Daniel (Gast)
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ich lern das Zeuch, es sei mir erlaubt mich zu irren, nicht?

es gibt eine Menge Integrale, die man nicht in einer
geschlossenen Form angeben kann. Zb Integral über sin(x)/x.
Ich kenne keinen Fachbegriff wie man diese Ausdrücke
bezeichnet (integral in der offenen Form :) ), ich nenne's
mal einfach ein Ausdruck. Deswegen ist meine momentane
Vorstellung von einem Dirac eben die eines Ausdrucks.

t * lim x->0 sin(x)/x
== t * 1
== t/pi * lim A ->inf int(-A,A){sin(x)/x}

die vorkommende Ausdrucke sehen anders aus, reduzieren
sich aber in allen Fällen auf dasselbe

Das ist meine (unvollkommene) Art im Moment des
Lernens mir einen Dirac vorzustellen. Ich habe
nirgends behauptet Euch die Wahrheit über Dirac
zu erzählen (dann wäre ich wohl gar nicht da :) )

Ich würde mich mehr auf Deine (richtige?) Vorstellung
des Diracimpulses freuen, aus dem obigen kann man
ausser Aussagen "deins ist falsch" nichts entnehmen.

Grüsse, Daniel

ps:
ich suche die betreffende Behauptung später(heute/morgen) auf

Autor: Gast (Gast)
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>Ich würde mich mehr auf Deine (richtige?) Vorstellung
>des Diracimpulses freuen, aus dem obigen kann man
>ausser Aussagen "deins ist falsch" nichts entnehmen.

Mehr kann man dazu auch nicht sagen, wenn du mit falschen Behauptungen 
um dich wirfst.

Ich stelle mir Distributionen nicht vor, sondern halte mich an deren 
Definition. Davon scheinst du ja einige zu haben, aber nicht richtig zu 
lesen, oder deine Buecher gehoeren verboten.

Mir erschliesst sich noch immer nicht, warum du jetzt unbedingt 
Distributionentheorie verstehen willst. Sicher, das ist ein wichtiges 
Thema, aber in der Behauptung, um die es dir nicht ging, war von 
Signalen, nicht von Distributionen die Rede.

Grüsse, Gast

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