Hallo Immer wieder liest man im Zusammenhang mit der Laplace-Transformierung und Differentialgleichungen, dass Pole und Nullstellen im Bildbereich die Funktion entscheidend charakterisieren. Aber was genau sie bedeuten, darüber schweigen sowohl meine Bücher/Skripts als auch bislang die Professoren. Könnte mir das mal jemand verraten? :-) Gruss Michael
Sind ein paar Tests ausserhalb des Interesses ? Mit einem Mathtool sollte das doch eine Sache von Minuten sein.
Ja, ganz einfach: n: Anzahl Nullstellen m: Anzahl Polstellen n=m: System ist sprungfähig, ein eingangssprung hat bei t=0 einen Sprung am Ausgang zur Folge. n>m: nicht kausal, System kann in die zukunft schauen, deshalb werden meist realisierungspole ergänzt. n<m: meisten techn Systeme, integrales verhalten, ein sprung am eingang bewirkt keinen sprung am ausgang. Das galt alles bei t=0 Für t gegen unendlich gilt: n>m: Ausgangssignal wird null n=m: Ausgangssignal nimmt einen "normalen" von null verschiedenen wert an n<m: AUsgangswert geht gegen unendlich (integrierendes verhalten) SOlche betrachtungen sind für regelkreisanalysen sehr wichtg... Reicht das? Oder frage bitte etwas kontreter
> Reicht das? > Oder frage bitte etwas kontreter Danke schon vielmal für die Antwort! Ich habe die Laplace-Transformation bisher für zwei Dinge verwendet: Transformieren einer Differentialgleichung, so dass man eine algebraische Gleichung bekommt sowie im Zusammenhang mit Übertragungsfunktionen bei (elektrischen) Zweitoren. Soweit ich es überblicke, ist das nicht ganz dasselbe? (Dein Posting betrifft der zweite Fall, Übertragungsfunktionen?) Ähm...naja, korrigiert mich, falls ich falsch liege :-)
Na ja,eigentlich ist das schon dasselbe. Ein (physikalisches / technisches) System hat ein bestimmtes Verhalten (im Zeitbereich), das man mit DGLen modellieren kann. Transformiert man diese DGLn in den Frequenzbereich, bekommt man die Übertragungsfunktion. Man macht aus DGLn algebraische Gleichungen.
Ja, Andrew hat recht. Du hast irgendein technisches System, zB ein Vierpol, ein Regelkreis, eine Strecke des Regelkreises, was auch immer.. Das lässt sich durch DGL'n beschreiben. Und die Laplace transformation ist ja nur eine Art Rechenvorschrift zum (relativ) einfachen Lösen von solchen DGL'n mit Tabellen. Und du kannst aus der Übertragungsfunktion G(s) sehr gut erkennen, was mit einzelnen Frequenzen passiert (Amplitude, Phase) Beispiel: 0.5sek * i_out'(t) + i_out(t) = 5sek * 5,4A/V * u_in'(t) + 5,4A/V * u_in(t) => Ampere 5 s + 1 G(s) = 5,4 -------- * -------------- Volt 0.5 s + 1 Was sagt uns das?? Statische Übertragungsverhalten: 5,4Ampere Ausgangsstrom je 1Volt EIngangsspannung. Dynanisches Verhalten: (5s+1)/(0,5s+1) bedeutet: PDT1 Verhalten, weil: im Zähler 5s+1 : die 1 ist P-Verhalten. (Denke dran, G(s) = Ausgang / EIngang) das 5s ist differenzierendes Verhalten, weil s= (sigma)+j*omega und omega ist die kreisfrequenz. Betrachtung im Nenner: 0,5s+1 ergibt verzögerung erster Ordnung (tiefpass)
Hallo Mr. Chip, das die Laplace-Transormation unter DGLn vom Verhalten der Polstellen und Nullstellen im Bildbereich abhängt, folgt aus deren allgemeinen Eigenschaften: Nullstelle: Transformierte der 1. Ableitung: f'(t) = s x Transformierte(s) - f(0) Wie Andrew und Matthias schon betonten - die Laplace-Transformation überführt analytische Beziehungen in Algebraische. Die erste Ableitung einer (gewöhnlichen) DGL entspricht einer einfachen Multiplikation im Bildbereich. Zusätzlich gibt es einen Term f(0): Dieser entspricht dem Anfangswertproblem (AWP) der zugehörigen DGL. Z.B.: Bei Schwingungsproblemen entspricht das AWP der DGL f(0) dem Einschwingverhalten. Hier also ganz deutlich: AWP der DGL und Funktion im Bildberich sind über eine Konstante (nämlich f(0) us dem AWP) direkt miteinander verknüpft. Polstellen - sie kommen bei höheren Ableitungen ins Spiel: Transformierte der 2. Ableitung: f''(t) = s x s x Transformierte(s) - s x f(0) - s x f'(0) Siehe z.B. Wellen, bei denen die 2te Ableitungen entscheidend sind. Zwischen Übertragungunktion und DGL (zeitl. Abhängigkeit) besteht in der Tat ein enger Zusammenhang: Funktionalgleichung, Differentialgleichng und Variationsprinzip sind äquivalent. Beispiel: Schwingung - Als Lösung der Schwingungs-DGL ergeben sich im reellen Fundamentalsytem Sinus- und Cosinus-Schwingungen (DGL) - Die Additionstheoreme von sin und cos erfüllen die Eigenschaften der DGL (Funktionalgleichung) - Die entsprechenden Fourier- und Laplace-Transformationen sind Lösungen der DGL (Integraldarstellung) Hinsichtlich 'des größeren Zusammenhangs' beachte man die Unterschiede: - Die Fouriertransformation intergriert mit ihrem Integralkern über Unstetigketen hinweg und ist so in der Lage selbst Rechtecke numerisch zu beschreiben. - Die Laplace-Transformation ist nicht so gutmütig: An der einfachen Transformation von sin() versus cos() sieht man den Einfluß des Integrationsbereichs. ... nun fehlt noch ein Beitrag, der den Begriff 'Faltung' anschaulich darstellt. Gruß Nils
Danke schonmal fuer die Antworten! Werde mir die Sache dann mal in einer ruhigen Minute mit einem Matheprogramm etwas genauer ansehen.
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