Wert des Spektrums bestimmen

[Felix H. (felix83)]

Hallo Leute,

hier hab ich ne Aufgabe bei der ich einfach nicht auf das Ergebnis 
komme,
hab schon alles möglche versucht, mit konjuiert komplex erweitern, 
eulersche Form...

Die Aufgabenstellung:
Die z-Transformierte des Signals x(k) lautet:

X(z)= [ z+2z(hoch-2)+z(hoch-3) ] / [ 1-3z(hoch-4)+z(hoch-5) ]
mit ROC: 0,3347 < |z| < 1,2146

Bestimme den Wert des Spektrums von x(k) für die Frequenz Ω = pi/6 !

Lösung:
Da |z| = 1 element ROC => Das Signal x(k) hat ein Spektrum X(Ω),
mit: X(pi/6)= -0.2311 -j 1.0693

Aber ich komme einfach nicht drauf
Vielleicht mache ich einfach etwas falsch..

Danke für Eure Mühe!
mfg felix

[Matthias L. (Gast)]

vielleicht gehts über die Beziehung:

z=exp(Ta*s)   Ta: Abtastzeit.

Mein erster Gedanke:
für z obigen Term einsetzen.
das s in i*Ω tauschen.
für Ω pi/6 einsetzen
real & imag. teil errechnen.
Man bräuchte dazu allerdings die Abtastzeit des signals...


Was ist ROC ???

[Detlef _. (detlef_a)]

Du setzt ein: z=e hoch (j*pi/6), dann kommt das gewünschte Ergebnis 
raus.

Cheers
Detlef

[Felix H. (felix83)]

Danke für die Antworten,

jedoch habe ich immer noch ein Problem :-(

also ich hatte auch für z=e hoch (j*pi/6)eingesetzt,
danach habe ich folgende Gleichung:

[e(j*pi/6)+2e(-j*pi/3)+e(-j*pi/2)] / [1-3e(j*2pi/3)+e(-j5*pi/6)]

Muss man nun jeden Term mit cos(..)+bzw.-jsin(..) berechnen?
Oder gibt es noch einfacheren Weg ??
Weil ich kam leider trotzdem auf dieses Ergebis nicht.

Könnte jemand bzw. Detlef die einzelnen Werte bzw. die Rechenschritte 
mit etwas mehr Detail posten?

ROC soll den Konvergenzbereich darstellen!

Vielen Dank!!!

mfg
felix

[Detlef _. (detlef_a)]

Bei z^(-4) haste nen Vorzeichenfehler drin. Lieber was benutzen, das mit 
komplexen Zahlen direkt rechnen kann, sonst wird die Geschichte schnell 
unübersichtlich. Nix Rechenschritte, hab ich in Matlab gemacht, ist 
denkbar simpel:
z=exp(i*pi/6)
(z+2*z^(-2)+z^(-3)) /(1-3*z^(-4)+z^(-5))

[pumpkin (Gast)]

Moin,

da du schon (fast) richtig eingesetzt hast nehm ich das mal her:

H(W)=[e(j*pi/6)+2e(-j*pi/3)+e(-j*pi/2)] / [1-3e(-j*2pi/3)+e(-j5*pi/6)]

Substituieren mit:

r*e^(j*phi) = r*cos(phi) + j*r*sin(phi)

[ cos(pi/6)+j*sin(pi/6) + 2*(cos(pi/3)-j*sin(pi/3)) + 
cos(pi/2)-j*sin(pi/2)]
------------------------------------------------------------------------ 
----
[       1 - 3*(cos(2/3*pi)+j*sin(2/3*pi)) + cos(5/6*pi) - j*sin(5/6*pi) 
]

Ausrechnen:

[ 0.866 + j0.5 + 1 - j1.732 + 0 - j]    1.866 - j2.232
------------------------------------ = ---------------- = -0.2310 - 
j1.069
[ 1 + 1.5 + j2.598 - 0.866 - j0.5 ]     1.634 + j2.098


pumpkin


edit: die Tastrate ist uninteressant, da normierte Frequenz. ROC = 
radius of convergence

[pumpkin (Gast)]

sry, ich hätte mal die Vorschau bemühen sollen

pumpkin

[Felix H. (felix83)]

Vielen Dank. Ich glaube ich besorge mir einen Taschenrechner der komplex 
rechnen kann. Der Rechenweg ist nun auch klaro ;-)