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Forum: Offtopic Integral, irrationale Funktion


Autor: Kai (Gast)
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Hallo,

ich weiß nicht weiter.

Partielle Int., Subst. werden ziemlich aufwendig oder enden in einer 
Sackgasse. Zumindest bei mir.


 /
 | x*[sqrt(a^2-x^2] dx
/

ist

-(1/3)sqrt[(a^2-x^2)^3]

Was ist der kürzeste Weg?

Autor: Johannes M. (johnny-m)
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Ich vermute fast, Dir fehlt die Erkenntnis, dass "sqrt(X)" nichts 
anderes ist als "X^(1/2)". Mit der Weisheit sollte es eigentlich fast 
trivial sein...

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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Das wird nicht viel bringen, denn:

sqrt [a^2-x^2] = [a^2-x2]^(1/2)

ist eher ein Binom nach der allg. Gleichung (a+x)^n

Aber ich gucke dann mal abends in meine "Bibel". Da steht auf alle Fälle 
eine geeignetet Substitution drin. Musst dich nur mal bis gegen 19ugr 
gedulden..

Autor: Matthias (Gast)
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Ist kein Binom, sonst wäre das ganze ja ziemlich leicht

Autor: Alexander Liebhold (lippi2000)
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Also hab grad mal versucht durch Partielle Integration drauf zu kommen, 
da wird es eher ganz schön lang. Aber ist möglich.

Aber das ganze Ding steht letztendlich in ner normalen Integraltabelle.

 /
 |x*sqrt[a^2-x^2],dx = -1/3*sqrt[(a^2-x^2)^3]
/

Autor: Matthias (Gast)
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Yo siehe hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_...

hängt halt eben davon ab ob du eine benutzen darfst oder nicht.

Autor: Fisch (Gast)
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Das Ganze kann man mit Substitution lösen. Siehe Anhang

MFG
Fisch

Autor: Netbird (Gast)
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Der Faktor x ergibt sich aus der Kettenregel bei der Ableitung von -x^2 
unter der Wurzel. Ist ein Hinweis zur Lösung mit Substitution mit der 
inneren Funktion a^2-x^2.

Substituiere also a^2-x^2=t, dann ergibt sich mit dt=-2x dt das Integral 
über 0,5* Wurzel t dt mit einer Stammfunktion 0,5*2/3*t^3/2, damit hast 
Du 1/3 t^3/2.
Rücksubstituieren ... fertig!

Autor: Tcf Kat (tcfkat)
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Integration durch Substitution, x = a sin(u).
Ich musste es nachschlagen, Lehr- und Übungsbuch Mathematik Teil III,
"Substitution trigronometrischer und hyperbolischer Funktionen".

Autor: Kai (Gast)
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Die Vermutung, dass es einfacher ist, als ich denke, habe ich auch - 
aber ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Durch Subst. x=a*asin(x) komme ich zumindest für die Wurzel auf ein 
korrektes Integral, aber auch nur, weil mir der Computer das Ergebnis 
für cos(asin(x)) verraten hat. Und das ist einige Schreibarbeit (etwa 
so: http://www.vorhilfe.de/read?t=173944 ).

Partiell integrieren muss man ja sowieso, ist ein Produkt.
Es hakt wohl wirklich an der geeigneten Subst, sonst hat man nämlich ein 
überflüssiges Integral als Summand der zweiten part. Int.

Ich versuch's nochmal, zum X.

Autor: Kai (Gast)
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oha, geht ja schnell hier..

Autor: Kai (Gast)
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DANKE! Den Teil hätte ich mir jetzt nochmal genauer angesehen..

Also erst Substituieren, dadurch fällt das Produkt weg, und damit das 
Problem.

Autor: Netbird (Gast)
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Hallo,
warum nimmst Du die Substitution t= a^2 -x^2 nicht??? Du musst dann 
nicht partiell integrieren.
Ich habe eben gesehen, dass Fisch meine Lösung schon vorher hatte, aber 
viel schöner aufgeschrieben.
In meiner Lösung ist außerdem noch ein Vorzeichenfehler, aber der Weg 
stimmt.

Noch ein Tipp: Ein Produkt bedeutet NICHT AUTOMATISCH partiell 
integrieren und zwar dann nicht, wenn der Faktor die Ableitung einer 
inneren Funktion ist! Kettenregel gibt Auskunft dazu.

Autor: Kai (Gast)
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Danke für die Hilfe!

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