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Integral, irrationale Funktion
Gast
#657250
Hallo, ich weiß nicht weiter. Partielle Int., Subst. werden ziemlich aufwendig oder enden in einer Sackgasse. Zumindest bei mir. / | x*[sqrt(a^2-x^2] dx / ist -(1/3)sqrt[(a^2-x^2)^3] Was ist der kürzeste Weg? Ich vermute fast, Dir fehlt die Erkenntnis, dass "sqrt(X)" nichts anderes ist als "X^(1/2)". Mit der Weisheit sollte es eigentlich fast trivial sein...
Gast
#657277
Das wird nicht viel bringen, denn: sqrt [a^2-x^2] = [a^2-x2]^(1/2) ist eher ein Binom nach der allg. Gleichung (a+x)^n Aber ich gucke dann mal abends in meine "Bibel". Da steht auf alle Fälle eine geeignetet Substitution drin. Musst dich nur mal bis gegen 19ugr gedulden..
Gast
#657278
Ist kein Binom, sonst wäre das ganze ja ziemlich leicht Also hab grad mal versucht durch Partielle Integration drauf zu kommen, da wird es eher ganz schön lang. Aber ist möglich. Aber das ganze Ding steht letztendlich in ner normalen Integraltabelle. / |x*sqrt[a^2-x^2],dx = -1/3*sqrt[(a^2-x^2)^3] /
Gast
#657285
Yo siehe hier: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_irrational_functions hängt halt eben davon ab ob du eine benutzen darfst oder nicht.
Gast
#657286
Das Ganze kann man mit Substitution lösen. Siehe Anhang MFG Fisch
Gast
#657288
Der Faktor x ergibt sich aus der Kettenregel bei der Ableitung von -x^2 unter der Wurzel. Ist ein Hinweis zur Lösung mit Substitution mit der inneren Funktion a^2-x^2. Substituiere also a^2-x^2=t, dann ergibt sich mit dt=-2x dt das Integral über 0,5* Wurzel t dt mit einer Stammfunktion 0,5*2/3*t^3/2, damit hast Du 1/3 t^3/2. Rücksubstituieren ... fertig! Integration durch Substitution, x = a sin(u). Ich musste es nachschlagen, Lehr- und Übungsbuch Mathematik Teil III, "Substitution trigronometrischer und hyperbolischer Funktionen".
Gast
#657301
Die Vermutung, dass es einfacher ist, als ich denke, habe ich auch - aber ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht. Durch Subst. x=a*asin(x) komme ich zumindest für die Wurzel auf ein korrektes Integral, aber auch nur, weil mir der Computer das Ergebnis für cos(asin(x)) verraten hat. Und das ist einige Schreibarbeit (etwa so: http://www.vorhilfe.de/read?t=173944 ). Partiell integrieren muss man ja sowieso, ist ein Produkt. Es hakt wohl wirklich an der geeigneten Subst, sonst hat man nämlich ein überflüssiges Integral als Summand der zweiten part. Int. Ich versuch's nochmal, zum X.
Gast
#657303
oha, geht ja schnell hier..
Gast
#657308
DANKE! Den Teil hätte ich mir jetzt nochmal genauer angesehen.. Also erst Substituieren, dadurch fällt das Produkt weg, und damit das Problem.
Gast
#657309
Hallo, warum nimmst Du die Substitution t= a^2 -x^2 nicht??? Du musst dann nicht partiell integrieren. Ich habe eben gesehen, dass Fisch meine Lösung schon vorher hatte, aber viel schöner aufgeschrieben. In meiner Lösung ist außerdem noch ein Vorzeichenfehler, aber der Weg stimmt. Noch ein Tipp: Ein Produkt bedeutet NICHT AUTOMATISCH partiell integrieren und zwar dann nicht, wenn der Faktor die Ableitung einer inneren Funktion ist! Kettenregel gibt Auskunft dazu.
Gast
#657338
Danke für die Hilfe! Antwort schreiben |
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