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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Z-Transformation


Autor: hannes (Gast)
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Ich hab Probleme mit der Aufgabe (siehe Anhang).

Wie berechnet man aus der Abbildung x(k) die Z-Transformierte x(z)?

Ich hab folgendes herausbekommen:

x(k)=-2S(k+4)+2S(k+2)+3s(k-3)+kS(k+2)-kS(k-3)

(S=Zeichen für Sprung)

Autor: Alexander Liebhold (lippi2000)
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Hallo Hannes,

such dir unbedingt die Rechenregeln und Korrespondenztabellen der 
Z-Transformation an.

Korrespondenz Nr.2: x(kTa)=S(kTa)    -->   X(z)=1/(1-z^-1)
(S=Zeichen Einheitssprung;Ta=Abtastzeit)

Linearitätssatz:    x1(kTa)+x2(kTa)  -->   X(z)=X1(z)+X2(z)

Verschiebungssatz:  x[(k-m)Ta]       -->   X(z)=X(z)*z^-m

Bsp: x(kTa) = S[(k-3)Ta]     -->    X(z)=(z^-3)/(1-z^-1)

Nach dem Prinzip kannst du aus einer aufgestellten Abtastfolge die 
Billineartransformierte erhalten.

Gruß Alexander

Autor: hannes (Gast)
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Laut Lösung sieht das ganze dann so aus wie in der Abbildung 
dargestellt.
Das kann doch nicht sein.


Die Lösung müsste doch so aussehen:
x(k)=-2S(k+4)+2S(k+2)+k[S(k+2)-S(k-3)]+3S(k-3)

(S=Zeichen für Sprung)

Warum beginnt die Rampe bei S(k+1) ???

Autor: hannes (Gast)
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Kann es sein dass die Lösung doch korrekt ist?
Bei k=-1 geht der Sprung wieder zurück auf 0. Dies bedeutet, die Rampe 
beginnt bei k=-1.

Autor: hannes (Gast)
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Kann mir jemand erklären, wieso die Lösung falsch ist?

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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>>Die Lösung müsste doch so aussehen:
>>x(k)=-2S(k+4)+2S(k+2)+k[S(k+2)-S(k-3)]+3S(k-3)

Deine Lösung ist m.E. auch ok. Man kann die Folge für k=-2 entweder dem 
konstanten Stück zuordnen oder der Rampe. Dasgleiche gilt für k=3.

Cheers
Detlef

Autor: hannes (Gast)
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Ja was ist dann demnach zu 100% korrekt?

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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Hä?

Cheers
Detlef

Autor: hannes (Gast)
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Hallo Detlef, wie würde deine Lösung dazu aussehen?

Autor: hannes (Gast)
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Also ich bin noch immer unsicher, wie nun die korrekte Lösung dazu 
aussehen könnte.

Version 1:
x(k)=-2S(k+4)+2S(k+2)+k[S(k+2)-S(k-3)]+3S(k-3)

Version 2:
x(k)=-2S(k+4)+2S(k+1)+k[S(k+1)-S(k-3)]+3S(k-3)

Autor: hannes (Gast)
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Schade, ich hab gedacht es gibt hier Experten.

Autor: hannes (Gast)
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Im Anhang befindet sich noch eine weitere Aufgabe zur Z- Transformation.
Die angegebene Lösung müsste doch auch falsch sein. Ich zerbreche mir 
schon seit einer Stunde den Kopf. Die Lösung verstehe ich überhaupt 
nicht.

Autor: hannes (Gast)
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Meine Lösung:

h(k) = (k-1)sprung(k-1)-(k-1)sprung(k-6)

Autor: hannes (Gast)
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Mir macht nur die Rampen Funktion Probleme. Für jeden Rat / Tipp bin ich 
sehr dankbar.

Autor: Gast (Gast)
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Sag mal Hannes du brauchst doch nur einzusetzen in deine Lösung und in
die Lösung von deinem Bild um zu sehen das beide falsch sind.

z.b: k=8, h(k) = (k-1)sprung(k-1)-(k-1)sprung(k-6) -->
          h(8) = 7 sprung (7) - 7 sprung (2) = 7-7 =0

sollte aber 1 sein


und die Bild Lösung

h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)

h(8)=7s(7)-7s(2)-5s(2)+(-1)s(-1)=7-7-5+0=-5 und nicht 1

Ich weiss nicht aus welcher Quelle deine Bildlösung stammt aber sie ist 
falsch. Und selbst wenn du die richtige Lösung findest müsstest du
die Multiplikationen (k*Sprung) im Zeitbereich im Z-Bereich falten und
das schaut auch nicht gerade unkompliziert aus.

Autor: hannes (Gast)
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Das versteh ich nicht. Bin jetzt völlig verwirrt.

Autor: hannes (Gast)
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So wie du gerechnet hast, das ist doch nicht richtig.

h(8) = 7 sprung (7) - 7 sprung (2) = 7-7 =0

Das hab ich jetzt noch nie so gesehen.

Der Sprung bei k=7 und K=2 kann man doch nicht so einfach addieren.

Autor: hannes (Gast)
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Ich hab mir nochmals intensiv gedanken gemacht. Die angegebene Lösung
h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9) müsste eigentlich 
doch stimmen.

Autor: Gast (Gast)
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Schau mal in Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion

nach ein Heavisidesprung S ist für S(k>0)=1 und für S(k<=0)=0

Die Z Transformation ist auch leichter als gedacht (keine Faltungen 
notwendig)

Z(x(t))=Summe aus den Produkten x(k)*z^-k  siehe Anhang

Autor: hannes (Gast)
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Danke! Das kenn ich schon. Ich hab auch die ganzen Korrespondenzen 
(Sprung, Rampe usw.). Mir geht es eigentlich nur um die 
Z-Transformation. Wie würde deine Lösung dazu aussehen?

Autor: hannes (Gast)
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Ich hab da noch was vergessen. Bevor die Z-Transformation erfolgt, muss 
dieses gegebene Signal h(k) durch Sprung, Rampe usw. beschrieben werden.
h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)
Aus dieser Gleichung kann man die Z-Transformation mit Hilfe den 
Korrespondenzen bilden. Desshalb muss auch die obige Gleichung h(k) auch 
stimmen. Da bin ich mir halt noch unsicher ob diese Gleichung auch so 
stimmt.

Autor: hannes (Gast)
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Stimmt folgende Gleichung:

h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)

Autor: Gast (Gast)
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Du brauchst deine Korrespodenzen nicht und die Tabellen auch nicht schau
in Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation
die Gleichung Unilaterale Z-Transformation (ganz oben an).

Diese Gleichung habe ich dir im Anhang Z_Transformation bildhaft 
dargestellt.

Autor: hannes (Gast)
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Ja stimmt jetzt die Gleichung h(k) ???

Autor: hannes (Gast)
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Was ich eigentlich nur wissen wollte, ob dieser Gleichung so richtig 
ist:

h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)

Autor: Gast (Gast)
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Da du nicht in der Lage bist diese Sprungfunktion
h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)
aufzuzeichnen (volle Linie) habe ich das erledigt.


Wie du siehst stimmt sie nicht mit deiner Angabe überein.
Deshalb ist deine Lösung falsch und nicht richtig.

Trotzdem solltest du in Zukunft selbst versuchen
Wege zu finden um Ergebnisse zu verifizieren und zu verstehen.

Autor: hannes (Gast)
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Also ich bekomms nicht hin. Vielen Dank für deine Hilfe.

Autor: hannes (Gast)
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Ja wie müsste dann das Signal h(k) aussehen?

Autor: hannes (Gast)
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Da ich mich noch immer schwer tur, könnte mir vielleicht irgendwer sagen 
wie Lösung zu den Aufgaben aussehen müsste?

Autor: hannes (Gast)
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Die Lösung von der 2. Aufgabe müsste eigentlich doch stimmen:

h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)

Autor: hannes (Gast)
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Kann keiner diese Aufgabe lösen?

Autor: Gast (Gast)
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>> Die Lösung von der 2. Aufgabe müsste eigentlich doch stimmen:
>> h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)

Dann beschreibe uns doch mal wie zu deiner Meinung kommst.
Zeichne deine h(k) einmal auf (mit den einzelnen Thermen).
Da du der Meinung bist es sei richtig kannst du es uns doch
erklären.

Autor: hannes (Gast)
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Die Rampe beginnt ja bei k=1 und endet bei k=5.
Diesen Abschnitt beschreibe ich mit: (k-1)Sprung(k-1)-(k-1)Sprung(k-6).
Dann beginnt die Abwärtsrampe bei k=5 und endet bei k=9.
Diesen Abschnitt beschreibe ich mit: -(k-3)Sprung(k-6)+(k-9)Sprung(k-9).

Autor: Gast (Gast)
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>>Die Rampe beginnt ja bei k=1 und endet bei k=5.
>>Diesen Abschnitt beschreibe ich mit: (k-1)Sprung(k-1)-(k-1)Sprung(k-6).

Das ist richtig nur gehört statt -(k-1)Sprung(k-6)  --> 
-(k-1)Sprung(k-x)
wobei x kleiner als 6 und grösser gleich 5 ist --> das ist deshalb weil
sprung(k-6) zum Zeitpunkt k=6 Null ist und nicht eins (wie du sicher 
vermutest--> schau noch mal 
http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion)

Die Abwärtsrampe lautet  (k-9)S(k-4) - (k-9)S(k-8)
nach deiner Logik (k-9)S(k-5) - (k-9)S(k-9)

Also die Lösung (k-1)S(k-1)-(k-1)S(k-5)+(k-9)S(k-4)-(k-9)S(k-8)
oder wenn du annimmenst das S(0)=1 und nicht S(0)=0 dann

(k-1)S(k-1)-(k-1)S(k-6)+(k-9)S(k-5)-(k-9)S(k-9)

Autor: Gast (Gast)
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Ich hab aus h(k) H(z)(grün) erzeugt dieses mit einem Differenzier
und einem Abtasthalteglied (0 Ordnung) in G(z) umgewandelt. Von diesem
so erzeugten G(z) (die differenzierte Sprungantwort h ist die
Impulsantwort g) habe ich die Sprungantwort mit Matlab dargestellt. Wie
du siehst stimmt sie mit deiner grafischen Sprungantwort überein.

Die untere Sprungantwort ist die gleiche wie die Obere. Da wurde nur die
Summe als Polynom dargestellt.

Autor: hannes (Gast)
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Die Lösung kann ich nicht nachvollziehen. Mit Simulink bekomme ich dies 
nicht so hin. Wie könnte man auf anderer weise die Gleichung h(k) 
simulieren?

Autor: hannes (Gast)
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... oder könntest du mir dein Simulink Programm hier rein posten?

Autor: Tommi Huber (drmota)
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Der Gast der dir geantwortet hat bin jetzt ich, da ich jetzt als Tommi 
angemeldet bin nur zu deiner Info.
Ich habe dir mit Simulink deine vermeintliche Lösung 
h(k)=(k-1)s(k-1)-(k-1)s(k-6)-(k-3)s(k-6)+(k-9)s(k-9)
duchrechnen lassen. Und wie schon erwartet zeigt auch Simulink
das selbe Ergenis wie das aus meinen gescannten Bild (17.10.2007 15:22).

Autor: Tommi Huber (drmota)
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Das entsprechende File kannst du auch haben.

Autor: Tommi Huber (drmota)
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Jetzt habe ich dir noch die Lösung als Simulinkmodell von Matlab 
berechnen lassen.

Autor: Tommi Huber (drmota)
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Und als Bild auch noch

Autor: hannes (Gast)
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Herzlichen Dank Tommi!

Ich kann zwar die Datei mit Matlab öffnen, aber ich sehe nichts.
Ich benutze die Version 6.5.

Autor: Tommi Huber (drmota)
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Hier hast du die mdl für Matlab 6.5

Autor: Tommi Huber (drmota)
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Und die mit der richtigen Lösung. Jetzt sollte du hoffentlich in der
Lage sein deine Ergebnisse mit Matlab zu überprüfen.

Autor: hannes (Gast)
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Herzlichen Dank für die Unterstützung.

Bye

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