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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Periodizität bei Abtastung


Autor: daniel (Gast)
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Hallo Leute,

x(t) sei bandbegrenzt, X(f)=0 für f>fmax
wohlbekannt entsteht bei einer Abtastung mit der Frequenz fa
(fa>=2*fmax) ein periodisches Spektrum der sich eben
nicht überlappt.
Bei der Rekonstruktion muss man ja dann auch von
-fmax bis fmax integrieren. Damit wird dann auch
logischerweise die Signalenergie begrenzt.

Hab ich Recht wenn ich behaupte, dass dieses
Periodizitätsartefakt rein mathematischer Natur sei?

Grüsse, Daniel

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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Wenn du ein Signal mit einem Impulskamm multiplizieren und das Ergebnis 
auf einem Spektrumanalyzer anschauen würdest, dann würdest du genau 
diese Periodizität im Spektrum sehen.

Allerdings hat man in der Realität keine Dirac-Impulse, sondern immer 
eine Impulsbreite > 0. Das führt dazu dass das Spektrum nicht echt 
periodisch ist, sondern mit der Fouriertransformierten des Impulses 
gewichtet ist, sprich zu den Seiten hin abfällt.

Man kann also sagen dass die Periodizität ein idealisierter Grenzfall 
ist, aber ein "rein mathematisches Artefakt" ist sie definitiv nicht.

Autor: daniel (Gast)
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ok, ich glaube ich hab's jetzt verstanden

wir haben hier eigentlich 2 Signale x(t) und dirac_kamm(t)
vielleicht kann man sogar anstatt dem idealen dirac_kamm
einen realisierbaren nehmen.

Bei der Zeitmultiplikation von den beiden Signalen
wird das Ergebniss auch mit höheren Frequenzanteilen
beschert als die, die nur rein von x(t) kommen.
Da dirac(t) o-o 1 .. also alle Frequenzen enthält,
liegt es nah, dass diese höheren Frequenzanteile von
dem Dirak kommen.
Das würde erklären warum x_abgetastet(t) in seinem
Spektrum Anteile hat, die weit in den f Bereich hinausgegehen.

Allerdings darf das wohl nicht insofern verallgemeinert
werden, dass man sagen könnte, dass bei der Multiplikation
von 2 Signalen das Ergebniss immer hochfrequenter wird.
-1 1 -1 1 -1 1 mal -1 1 -1 1 -1 1 = 1 1 1 1 1
Vielleicht muss die Unkorreliertheit vorausgesetzt werden,
aber das sind nur Mutmassungen.

Wie könnte man in echt 2 Signale multplizieren?
[TP] => ADC_1, ADC_2 => mikrocontroller => DAC => [Filter?]
Geht das irgendwie auch analog?

Danke für weitere Anregungen
Gruss, Daniel

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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Man kann es eigentlich ganz einfach erklären: eine Multiplikation im 
Zeitbereich mit x entspricht im Frequenzbereich einer Faltung mit der 
Fouriertransformierten von x - das ist in diesem Fall auch ein 
Impulskamm, also ergibt sich direkt die Periodizität. Wenn man jetzt 
noch die Nicht-Dirac-Form der Impulse berücksichtigen will geht das nach 
dem selben Prinzip: wenn man den Impulskamm im Zeitbereich mit der 
realen Impulsform faltet, z.B. einem Rechteck (was natürlich wiederum 
eine idealisierte Annahme ist), dann ergibt sich daraus im 
Frequenzbereich eine Multiplikation mit einer si-Funktion. Je schmaler 
das Rechteck, desto breiter die si-Funktion.

> Wie könnte man in echt 2 Signale multplizieren?
> [TP] => ADC_1, ADC_2 => mikrocontroller => DAC => [Filter?]
> Geht das irgendwie auch analog?

Wenn das eine ein Binärsignal ist geht es einfach, dann muss man nur im 
richtigen Takt an- und ausschalten. Ansonsten gibt es auch 
Analogmultiplizierer als ICs, oder im HF-Bereich Mischer z.B. auf Basis 
von Dioden (sowas findest du in jedem Funk-Empfänger).

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